単位数の乗法について

質問

4/20に序数の演算等について質問させて頂いたものです。皆さんから詳細な回答を頂き、良く理解できました。ありがとうございます。

今日は違う質問です。単位数同士の乗法の結果の単位はどうなるか、です。実は中学生の時からずっとxx年間曖昧なまま来てしまっていることです。

単位数同士の乗法の結果の単位は別の単位になる。メートル x メートル = 平方メートルの如く。単位数に無名数を掛けた場合は、元の単位のまま。そう習ったように思います。

しかし、40人の学級が3組あった場合は120人であって、120人組ではないですよね？。100点を3回取ったときも、300点であって300点回じゃないですよね？。

これはどう考えたらいいんでしょうか。単位数同士を掛けても単位が変わらない事もある？。3組、3回を掛けるときは、実は無名数を掛けている？。

私自身が自分を納得させていたのは、上の乗法の場合、実は40人は
40人/組、100点は100点/回というべきところを便宜的に40人、100点と
呼んでいるだけという説明ですが、この考えに穴はないでしょうか？。
日常的な用語法の感覚とかなり異なるので、躊躇があります。

宜しくお願いします。

回答No.10

Akira_Oji

Akira_Ojiです。
（一所懸命書いた返答を手違いで消してしまって落胆しておりました。今思いますに、我々はもう十分単位について考えてきたと思いますので、各自もう少し考えてみることにして、ここでは簡単に返答したいと思います。）

（１）「単位」は物の量を数字だけでは「はっきりしないとき」より理解しやすい「物の量」を表すのに補助的な役割をする。

（２）二つの量が「加えることができる」ためには、それらは同じ概念の量でなければならない。
２本の鉛筆と３本の鉛筆では５本の鉛筆。
２本の鉛筆と３個の消しゴムでは５つの「文房具」。
２頭の牛と３頭の馬では全部で５頭の「動物」がいる。

（３）同じ概念の量でも「足せる場合」と「足せない場合」がある。
電車の中の駆けてるぼうや－－＞足し算可能。
３台一緒に走っている自動車の速度－－＞足しても意味がない。
「何を求めたいのかをよく考える。」

（４）二つの量の「掛け算」や「割り算」は新しい種類の量を生み出す。（長さｘ長さ＝面積という概念には「ある飛躍」がある。）

（５）「回」や「個」は単位と考えると便利な場合があるが、「単位ではない」とも考えられる。

例：周波数の単位Ｈｚ（ヘルツ）は今でも使われていますが、
「回／秒」のことですが、計算上は「１／秒」でもいい。

例：「Ｍｏｌ（モル）」は７つの基本単位の中に入っていますが、ご存知のように、１Ｍｏｌは６．０２ｘ１０＾２３個の分子などの数のことです。「個」も時には使うと便利な単位である。

以上、まだまだ問題はあろうと思いますが、ここで一応終わります。

お礼

ありがとうございました。皆さんへのお礼も兼ねまして、これで本件打ち上げということとさせて頂きたいと思います。

そもそも、小生中学のころから理屈っぽく、高校では文系受験ながら社会がダメで物理が好き、大学では法学部ながら哲学に潜っていたというひねくれもので、話をひたすらややこしくしたようで恐縮しています。
そのころから、数学哲学に興味があって、数論の哲学的・心理学的基礎付けなんてことを考えていたものです。

久々に刺激を受けました。このサイトを利用させていただいたのは2度目ですが、真剣な議論を頂戴し、感激しております。皆さん、ありがとうございました。

回答No.9

kichikara

No.6です。既に色々な回答が出ておりますし、私もそう研究したわけでもないので、以下の文は飽くまで「個人的見解に基づく」ことをご了承ください。

*　物理学的な「計量単位」と言語的な「自然単位」とを混同しているのではないでしょうか。
　計量単位と自然単位についてこちらを参照ください。
http://www.jeea.or.jp/course/contents/01112/

　乱暴に要約して言えば、計算過程に応じて単位自身が変化していくのは物理量を現す七つの基本単位とこれらを組み合わせた組立単位のみです。
　専門的で申し訳ないのですが、電流の単位〔A〕が基本単位として挙げられています。電圧の単位〔V〕は組立単位であり1〔V〕=1〔J/C〕、1〔C〕=1〔A・sec〕、1〔J〕=1〔N・m〕、1〔N〕=1〔kg・m/sec^2〕。ここから1〔V〕=1〔kg・m^2/A・sec^3〕と云う次元式で表せます。
　 No.3の方の回答に、「[組] は、無次元の単位」とありますが、つまり「組」「回」「点」「匹」等はこうした基本単位のみの次元式で書き表す事の出来ない「自然単位」であって無名数として扱い、計算過程に「単位」を考察する事はありません。

ex1.　或る生徒の八教科のテストの得点がそれぞれ100点、100点、90点、5点、55点、55点、100点、15点であったとき、この生徒の総合得点と平均点を求めよ。

　100 ＋100 ＋90 ＋5 ＋55 ＋55 ＋100 ＋15 ＝ 520

と、このように和算で求めるわけですが、100点が三つ、55点が二つありますからこれを整理して

　100 ×3 ＋55 ×2 ＋90 ＋15 ＋5 ＝ 520

と表すことも出来ます。もちろん八教科全て100点であったなら
　100 ＋100 ＋100 ＋100 ＋100 ＋100 ＋100 ＋100 ＝ 800
　100 ×8 ＝ 800
となるわけです。ちょっと乱暴な表現ですが「乗算は和算の便法」であり、100点が三つあるから
　100 ＋100 ＋100 ＝ 100 ×3
なわけで、この「3」は明確に無名数です。

　テストの成績は〔点〕、箪笥は〔棹〕、兎は〔羽〕で数えるのは、英語等における単数形と複数形の語尾変化のようなもの。〔棹〕で数えると云う事は、(日本語の仕組みとして)数えられているソレが「箪笥である」と云う事を表現しているに過ぎない言語学的な要素であって、これを数学的に扱おうとする事にそもそもの間違いがあると考えます。

　文章問題から必要な値を読み取り、立式する。数学に於いてはこの時点で無名数の単位は取っ払います。上記の計算の数値は全て「単位無し」です。算出された数値に「文章問題の答えとして適当な単位を【新に付け直したもの】」が文章問題に対する【文章での解答】となります。質問者さんがお礼欄に書いていただいた通り

＞その意味を考えることがすなわち単位を決定するということではないでしょうか．．．。

と云うことです。導かれた数値がなんであるかを表現する為に、無名数として計算した後に新に単位を決定するのです。
　ここで総得点として表現する最も適した自然単位はやはり〔点〕でしょう。もちろん総得点である事を強調する為の新しい自然単位を創出しても良いと思います。

　520 ÷8 ＝ 65

　これで平均点が算出されますが、平均点の単位は〔点〕ですか〔点／教科〕ですか。
　私の答えは「どっちでも良い」です。平均点である事が判るなら、表現上〔点〕であっても〔point/subject〕であっても問題無いと思います。

＞和を考える実践的な意味

ex2.　時速100kmで進んでいる電車の中を、最後尾から進行方向に時速5kmで走っているおバカさんが居ます。踏切待ちをしているドライバーから見たおバカさんの速度はいくらでしょう。

　100〔km/h〕 ＋5〔km/h〕 ＝ 105〔km/h〕

　いいですよね。社会常識的にはともかく、数学的には正解です。

ex3.　三台の車が時速100kmで並走しています。合計速度を求めなさい。

　100〔km/h〕 ×3 ＝ 300〔km/h〕

　これはどうでしょうか。300〔km/h〕とは、何を表現しているものでしょう。これが通用するならば頭数さえ揃えば自動車に乗って音速も光速も簡単に超える事が出来そうですが、実際そうはいきませんね。
　これは問題文がナンセンスで、この条件で云う「合計速度」とは何ぞや、と云う話になります。文章として破綻している部分は無いようですが、数学的には「立式不能」です。

＞例えば、3人の男と2個のテストは、もし無名数であれば3+2＝5とできますが…

　出来ますが、導かれた「5」は何を表現しているのでしょうか。考えるべきは、「計算後の値の意味」よりも、先ず「計算していいものかどうか」です。無名数として計算する前に、「3人の男」と「2個のテスト」を単純に足し合わせて良いのかどうかを判断しなければなりません。不可であればそのまま「3人の男」と「2個のテスト」であり、可であれば「5つの何か」です。いづれにせよ、無名数として計算した後で、適当な自然単位をくっ付ける事になります。【文章としての解答】をする為に。

***********

　物理的な計量単位に於いては、単位の扱いは重要で、Akira_Oji様の回答が明解だと思います。が、これを自然単位にまでそのまま拡張すると難しいところへ入り込んでしまいます。

　単位には「計量単位」と「自然単位」の別があり「自然単位」は計算途上では「単位なし」として扱う。「計量単位」は物理的な定義に基づいて(これは「計量単位です」と)決められた物であり、計算途上に於いても値と同様に計算対象になる。

　これを私なりの結論として提示させていただきますが、いかがでしょうか。

回答No.8

kichikara

Akira_Oji様、横からの私の疑問にも丁寧な解説をいただき、お礼申し上げます。恐れ入りますが、その後の私の考察から未だ納得できない部分がありますので（議論と目されて削除対象にされては元も子も無い話ですが）、今一度お付き合い願えれば幸いです。

＜問い＞　三回のテストで…
＜答え＞　もちろん（ｂ）が正解です。(後略)

　ありがとうございます。ほぼ納得です。ただ
＞〔点／回〕という単位は”毎回”同じ点を取る場合にしか使えない単位でしょう。
　後述にもあるように〔点／回〕という単位には平均値である事を示す性格の物でしょう。平均値として与えられた値に度数を掛ければ総得点が得られるので
　100〔点／回〕　×　3〔回〕　＝　300〔点〕
は納得ですが、三回の試験で個々の得点が各々100点である場合、これら個々のデータの単位はやはり〔点/回〕ではなく〔点〕であるから、ここで試験回数「3」を単位無しとしなければ総得点300〔点〕が得られません。同じ得点を取り続けた者のみ300〔点・回〕と云う単位での評価となるのでしょうか。

＜問い＞　或る学校の男子…
＜答え＞　（略）

　これは「平均身長の単位は〔cm〕ではなく、〔cm/人〕で与えられるべき」（問題文に誤りが含まれていた）であり、「各人個々の身長の単位は〔cm〕」と云うことですね。納得です。

＜問い＞　人間は一〔人〕…
＜問い＞　「三人の男と二…
＜答え＞　（略)

　この後に私の考察を（質問者さん向けに(*1）)まとめた物を出しますので、宜しければそちらも読んで添削いただければ嬉しく思います。

＜問い＞　いささか専門的な…
＜答え＞　電流Ｉは１本のコイルの電線に流れる電流ですから、もし２回巻くと２倍の電流が鉄心のまわりに流れます。（中略）　「巻」を無名数のようにするときもあります。しかし、英語の教科書では、「Ｔｕｒｎ］という単位を使うときがあります。砂川重信の「理論電磁気学」にも（Ａ・Ｔｕｒｎ）という単位を磁気回路で使っています。

　先ず始めに言い訳ですが、「専門的な」としたのは質問者さん向けの文章を心掛けた為であり、Akira_Oji様が「大学の物理の先生」をしておられることを無視したものではありません。これにも解説をいただけるとは想定しておりませんでしたので…。失礼致しました。

　さて、この段落は、「磁界の強さH〔A/m〕を表す式が　Ｎ×Ｉ〔A〕／Ｌ〔m〕だから、巻数Ｎは「単位無し」ですよ？」と云うことが主題です。Akira_Oji様の解説を読ませていただきましたが
H〔A/m〕＝Ｎ〔巻〕×Ｉ〔A/巻〕／Ｌ〔m〕　と云うことなのか
H〔A・巻/m〕＝Ｎ〔巻〕×Ｉ〔A〕／Ｌ〔m〕　であるのか若しくはそれ以外なのかが、読み解けませんでした。質問者さんを置いてけぼりにするようで申し訳ないのですが、再度解説願えませんでしょうか。

*********

＞「／回」の意味は”毎回”と読むでしょう。　　はちょっと異論ありです。

　今、私がここで答えるべきではないのでしょうが。
　〔□/△〕形の単位は「△あたりの□の大きさ」であり”毎△”です。ここで与えられるのは、「回、時の数え方が一定だということ」よりも「□と△が独立に数えられる量である事」です。「試験一回あたりの得点」である以上、複数回の試験を受けている事を前提とした平均値が与えられたと解釈するのが普通で、個々の試験の得点にそれぞれ〔点/回〕と単位をつけるのはおかしいと私は考えています。
　〔点/回〕と〔km/h〕とで何が違うのかを次にまとめたので宜しければそちらも御覧下さい。

*1　書き上げて「サア投稿しよう」とページを見ると先にAkira_Oji様の解答が付けられていましたので慌てて今これを書き起こした次第です。

回答No.7

Akira_Oji

＜問い＞
三回のテストでそれぞれ100点、95点、90点を取ったとしたら？
この場合、掛け算と云うわけにはいかず、足し算で合計点を算出する事になります。と、
(a)　100〔点／回〕　＋　95〔点／回〕　＋　　90〔点／回〕　＝　285〔点／回〕
(b)　100〔点〕　＋　95〔点〕　＋　　90〔点〕　＝　285〔点〕
いづれになりましょうか。

＜答え＞
もちろん（ｂ）が正解です。〔点／回〕という単位は”毎回”同じ点を取る場合にしか使えない単位でしょう。「／回」の意味は”毎回”と読むでしょう。４０ｋｍ／時と言うのは「１時間当たり」すなわち「毎時間」ということです。「４０ｋｍ／時で走って」「３時間走ると」というとき３時間の間は「同じ速さで」走ることを前提としています。だから、その３時間の間は「毎時間４０ｋｍ」で走るので「３倍」すればいいことがわかります。
もし、
最初の１時間は「毎時５０ｋｍ」で「１時間」
次の１時間は「毎時４０ｋｍ」で「１時間」
その次の１時間は「毎時６０ｋｍ」で「１時間」
「全部でいくら走ったか」が質問であれば、
（５０ｋｍ／時間）＊（１時間）＋（４０ｋｍ／時間）＊（１時間）＋（６０ｋｍ／時間）＊（１時間）＝５０ｋｍ＋４０ｋｍ＋６０ｋｍ＝１５０ｋｍ
となります。

もし、
最初の１時間は「毎時５０ｋｍ」で「１時間」
次の１時間は「毎時４０ｋｍ」で「２時間」
その次の１時間は「毎時６０ｋｍ」で「３時間」
「全部でいくら走ったか」が質問であれば、
（５０ｋｍ／時間）＊（１時間）＋（４０ｋｍ／時間）＊（２時間）＋（６０ｋｍ／時間）＊（３時間）＝５０ｋｍ＋８０ｋｍ＋１８０ｋｍ＝３１０ｋｍ
となります。

＜問い＞
　或る学校の男子生徒　n〔人〕の平均身長がX〔cm〕で与えられる時、各個人の身長の単位は〔ｃｍ・人〕でしょうか。
＜答え＞
簡単のために３人で説明します。３人Ａ，Ｂ，Ｃの身長が
１６０ｃｍ、１７０ｃｍ、１８０ｃｍとしますと平均身長の出し方は
（１６０ｃｍ＋１７０ｃｍ＋１８０ｃｍ）／（３人）
＝（５１０ｃｍ）／（３人）＝１７０ｃｍ／人
これは次のように読めばいいでしょう。「いろいろな身長の人がいますが平均すると、１人当たり１７０ｃｍの身長があることになる。」

＜問い＞
　人間は一〔人〕。牛馬は一〔頭〕。蛙は一〔匹〕。箪笥は一〔棹〕。畳は一〔畳(*1)〕。金属バットもペットボトルも一〔本〕。兎も雀も一〔羽〕。これらは「単位」として扱える物なのでしょうか。「単位」として扱える物であれば、牛の数と馬の数の和算が可能であり、物干し竿とタイヤの和算も可能でしょう。
＜答え＞
「牛の数」と「馬の数」を「足したい」と思ったとき貴方は「合計の数」はもはや「牛」でも「馬」でもなく、「牛」と「馬」を「同一視した」そのような「動物」が「合わせて」「何匹・何頭」いるかと考えているわけです。「和」を考えるときは「足しあわされるものどうし」は「同じ概念のもの」でないと足せません。
「物干し竿とタイヤの和算」を考えているとき、「物干し竿とタイヤ」は別々に１個１個と数えられる「物体」と考えて、「何個の物体」があるかと考えているのでしょう。

＜問い＞
　「三人の男と二匹の犬。」「Three men and two dogs.」例えばこんなふうに、英訳したら消えてしまうようなものは語学的考察の対象にはなっても、数学的には「無名数」として扱ってよいのではないかと考えます。
＜答え＞
日本語には独立した「単位」として「人」や「匹」というのがありますが、英語では「men」や「dogs」が「単位」と考えられます。
３ｍｅｎ＋４ｍｅｎ＝７ｍｅｎ
２ｄｏｇｓ＋３ｄｏｇｓ＝５ｄｏｇｓ
「和」を考えているときは「同じ概念」のものの個数です。
もし、「ひと」と「いぬ」の個数を「足したい」時は、もはや、犬でも人でもなく、「Ｈｏｗ　ｍａｎｙ　ｂｏｄｉｅｓ　ｄｏ　ｗｅ　ｈａｖｅ？」（ここに何個体ありますか？）と問うているのでしょう。犬と人を「区別」しては足し算はできません。「同一視」して初めて足し算ができるのです。

＜問い＞
　いささか専門的なところを言えば、電気理論に於いて　「平均磁路長　Ｌ〔m〕の強磁性体に巻き数　Ｎ〔回〕のコイルを施し、電流　Ｉ〔Ａ〕を流した時、鉄心内の磁界の強さＨ〔A/m〕は
　H=NI/L　〔A/m〕
となる。」と云うのがあります。ここで巻き数Ｎ〔回〕は無名数です。

＜答え＞
電流Ｉは１本のコイルの電線に流れる電流ですから、もし２回巻くと２倍の電流が鉄心のまわりに流れます。だから、電流Ｉ［Ａ］と言っている場合、実はコイルの電線「１本当たり」の電流であるのでＩ［Ａ／１巻］であります。だから、鉄心を取り巻いている「全電流」を求めるときには、この（電流）ｘ（巻き数）で出てきます。しかし、日常的には「磁気」を扱う以外は電流はＡで測りますので、（Ａ／巻）を使わずに（Ａ）を使って、「巻」を無名数のようにするときもあります。しかし、英語の教科書では、「Ｔｕｒｎ］という単位を使うときがあります。砂川重信の「理論電磁気学」にも（Ａ・Ｔｕｒｎ）という単位を磁気回路で使っています。

お礼

ありがとうございます。2番目以降のトイに対する答えは全て納得がいきますが、

〔点／回〕という単位は”毎回”同じ点を取る場合にしか使えない単位でしょう。「／回」の意味は”毎回”と読むでしょう。

はちょっと異論ありです。

／回、／時でいえるのは、回、時の数え方が一定だということであって、毎回同じ点数、毎時同じ速度であるという含意はないのではないでしょうか。更に言えば、1時間で走るスピードが変化したとしても結局
1時間で40km進んでいれば40km/時として良いわけで、単位の間同じ速度であるということも含意されていないのではないでしょうか。

色々考えたのですが、100点/回+95点/回は余り違和感なく計算できてしまうので問題点が隠れていますが、40km/時と50km/時という「速さ」同士を足しても何も出てこない、速さそのものは足しても意味がないのは明らかなわけで、ここで90kmという答えを出すとき、それは速さとしての40km/時、50km/時から、距離の40km、50kmを抜き出して、距離として足しているということではないかと思います。点/回にしても同じことではないかと。

だからといって、点/回は毎回同じ得点でないと意味がないわけでは
ないことは、km/時がいつでも同じ速度でないと意味がないことと同じだと思います。「同じ」を含意しているのは「乗法」という計算方法のほうだと思います。

回答No.6

kichikara

No.5の方の回答を読んで疑問に思うところがありましたので、便乗質問気味に失礼します。

　100点を三回取りました。一回あたり100点でこれが三回。
　100〔点／回〕　×　3〔回〕　＝　300点

　では、三回のテストでそれぞれ100点、95点、90点を取ったとしたら？
　この場合、掛け算と云うわけにはいかず、足し算で合計点を算出する事になります。と、
(a)　100〔点／回〕　＋　95〔点／回〕　＋　　90〔点／回〕　＝　285〔点／回〕
(b)　100〔点〕　＋　95〔点〕　＋　　90〔点〕　＝　285〔点〕
いづれになりましょうか。

　或る学校の男子生徒　n〔人〕の平均身長がX〔cm〕で与えられる時、各個人の身長の単位は〔ｃｍ・人〕でしょうか。

　人間は一〔人〕。牛馬は一〔頭〕。蛙は一〔匹〕。箪笥は一〔棹〕。畳は一〔畳(*1)〕。金属バットもペットボトルも一〔本〕。兎も雀も一〔羽〕。これらは「単位」として扱える物なのでしょうか。「単位」として扱える物であれば、牛の数と馬の数の和算が可能であり、物干し竿とタイヤの和算も可能でしょう。犬は一〔頭〕ですか一〔匹〕ですか。

　「三人の男と二匹の犬。」「Three men and two dogs.」例えばこんなふうに、英訳したら消えてしまうようなものは語学的考察の対象にはなっても、数学的には「無名数」として扱ってよいのではないかと考えます。

　いささか専門的なところを言えば、電気理論に於いて　「平均磁路長　Ｌ〔m〕の強磁性体に巻き数　Ｎ〔回〕のコイルを施し、電流　Ｉ〔Ａ〕を流した時、鉄心内の磁界の強さＨ〔A/m〕は
　H=NI/L　〔A/m〕
となる。」と云うのがあります。ここで巻き数Ｎ〔回〕は無名数です。*2

　〔点〕〔回〕〔人〕等、物理的な一意性を持たないこれらを、単位として扱うには無理があるのではないかと思うのですが、いかがでしょうか。

*1　面積を表すものでなく、「畳」と云う建具の数を示す場合に限る。
*2　参照した参考書には「巻き数　Ｎのコイルを施し」と記述されていました。

お礼

(a)　100〔点／回〕＋95〔点／回〕＋90〔点／回〕＝285〔点／回〕
(b)　100〔点〕　＋　95〔点〕　＋　　90〔点〕　＝　285〔点〕
いづれになりましょうか。

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これは盲点でした。単位がややこしくなるのは乗除の場合という思い込みがありました。

285点/3回といえれば良いんでしょうが、単位の基本的な考え方に悖ってしまいますね。

ただ、1回当たり95点を95点/回、95点を3回取ったら285点（点/回ではなく）は自然な用語法で無理がないと思うので、何が問題なのかちょっと分かりません。

1つヒントかと思うのは、牛の数と馬の数の和、3人の男と2匹の犬の和を考えるとき、解の単位はもともとの単位と変わっていることが含意されているのではないかということです。つまり、単位をどう呼ぶにせよ、そこには「匹+人＝合計の動物の数」という観点が入っている訳で、解の単位は便宜的に「動物」ということになるのではないでしょうか。「動物」というところまで抽象化されたら無名数ではないかという考えもあるかもしれませんが、しかし、そう考えると、和を考える実践的な意味がなくなってしまうと思います。

例えば、3人の男と2個のテストは、もし無名数であれば3+2＝5とできますが、その計算に意味があるのかないのか。意味があるケースは想定しにくいですが、もしもあるとしても、それは和を取ることの実践的な意味を考えること抜きには分からず、その意味を考えることがすなわち単位を決定するということではないでしょうか．．．。

それにしても、
(a)　100〔点／回〕＋95〔点／回〕＋90〔点／回〕＝285〔点／回〕？
というのは見事すぎるアポリアですね。和をとることで暗黙のうちに
／３回と単位＝観点が変わったという説明しか思いつきません。

回答No.5

Akira_Oji

場末の大学で物理を教えています。
「単位」についてはかなり気を使って学生に教えます。

＞40人の学級が3組あった場合は120人であって、120人組ではないですよね？。100点を3回取ったときも、300点であって300点回じゃないですよね？。

もうすでに何人かの回答者の方々が述べられていますが、もう一度はっきりさせたいと思いますので、繰り返します。

「40人の学級が3組あった」と言っているのは「１組当たり40人の学級が3組あった」と暗黙の同意のもとで言葉を短くするためにいっているので、数学的には
４０人/組ｘ３組＝１２０人
と単位「組」は打ち消しあっています。

「100点を3回取ったとき」も「毎回100点を取った」ので３回でというのは
１００点/回ｘ３回＝３００点

質問者「私自身が自分を納得させていたのは、上の乗法の場合、実は40人は
40人/組、100点は100点/回というべきところを便宜的に40人、100点と
呼んでいるだけという説明ですが、この考えに穴はないでしょうか？。
日常的な用語法の感覚とかなり異なるので、躊躇があります。」

まったくあなたは正しいし、こうでなければいけません。

「５００円の肉を６００ｇください。」では「１００g当り５００円の肉を６００ｇください。」のことで、代金は、
（５００円/１００ｇ）ｘ６００ｇ＝３０００円

「時間給７５０円のバイトで３５時間働」けば、バイト料は
（７５０円/１時間）ｘ(３５時間）＝２６２５０円

「時速１２０ｋｍで２０分走ったとき」の距離は
「１時間あたり１２０ｋｍ進む速さで２０分」ですから、
（１２０km/1時間）ｘ２０分＝２４０km・分/時間
となるので、速さを分速に直すほうが分りやすい。1時間＝６０分なので、
１２０km/1時間＝１２０km/６０分＝２ｋｍ/分
そして、進む距離は
（２ｋｍ/分）x２０分＝４０ｋｍ

計算のなかでは、単位もまた無名数の計算のように計算をします。
（ｋｍ/分）x　分＝ｋｍ
のように。

時には、「単位で考える」こともある。
「時速４０ｋｍ」と「距離１２０ｋｍ」
を使って「かかる時間」はというときは？
と曖昧な問題。

「４０ｋｍ/時間」と「距離１２０ｋｍ」
と単位を整えて、これらを「掛け算」か「割り算」かあまり考えずに解こうと思えば、以下の３通りの計算で１つだけ正解がある。
＜掛け算では＞
（４０ｋｍ/時間）ｘ（１２０ｋｍ）＝４８００ｋｍ＾２/時間
＜割り算では＞
（４０ｋｍ/時間）/（１２０ｋｍ）＝０．３３３/時間
あるいは
（１２０ｋｍ）/（４０ｋｍ/時間）＝３時間

正解は単位を見れば、時間になっているのは最後の割り算だけ。単位を利用することによって、分りづらいものも分ってくるわけです。

お礼

ありがとうございます。私が昔から理解していた納得も物理の例で考えていたので、非常に納得の行く説明、ありがとうございます。
子供は中学生になったところですが、明示的・黙示的にこういった疑問は感じているはず、あるいは突き詰めれば感じるはずのことであり、この辺に導いていくことが、理解の明確化に繋がるのではないか。いやいや、それは格好良すぎますね。なんだか分からんけど掛けたり、割ったりしていたら答えが出てしまったというレベルを脱却する為には単位の理解が不可欠ではないかと思い、理屈を捏ねているものです。お付き合いありがとうございます。

回答No.4

noname#101087

1 メートルの棒を 10 本つないだら？
ふつう、10 メートル本とは答えませんよね。
設問も、1 メートルの棒を 10 本つないだら何メートル？と訊くのがふつうです。
1 メートルの棒を 10 本つないだものを指さし、棒は何本？と訊く場合もあり得ます。
10 本メートルとは答えないでしょう。
問いに含意されている単位で答えるのが「日常的な用語法の感覚」。

この例と「メートル x メートル = 平方メートル」との違いは何なのでしょう？
棒の例では、問いの前提にある複数単位からの択一。
「メートル x メートル = 平方メートル」の例では、問いの前提になかった別の単位が「必要」。
「必要」ない合成単位は使うな、というのが「オッカムの剃刀」の応用でしょうか。

回答No.3

arrysthmia

計算は同じ 40×3 でも、その考え方は何通りもあると思います。

40[人]×3 　　　　　　　乗算 = 累加 の考え方。 [組] は、無次元の単位。
40[人/組]×3[組]　　　正比例の考え方。 40 は、(組の数)→(学年の人数) の比例定数。
c×40[人]×3[組]　　　複比例の考え方。 c は、(学級の人数，組の数)→(学年の人数)
　　　　　　　　　　　　　　の比例定数で、1 [/組]という値を持つ。 あるいは、
　　　　　　　　　　　　　　c = 1 [学年人/学級人・組] のほうが良いかもしれない。

掛け算の意味と言っても、一種類じゃないんですよ。

お礼

ありがとうございます。失礼かと思いますが、小生の考えは他の質問に対するお礼で替えさせて頂きます。

回答No.2

haberi

＞3組、3回を掛けるときは、実は無名数を掛けている？。
これが正解と思います。
組っていうのは一つのグループ、集合体っていうような意味でしょうし、
回っていうのもあきらかに単位のない数だと思います

＞実は40人は40人/組、100点は100点/回というべきところを便宜的に40人、100点と呼んでいるだけという説明ですが、この考えに穴はないでしょうか？。
面白い考えですね。穴はあるかと聞かれたら、ないとおもいますよ
ちょっと言葉を変えて
一組当たり40人を3組とか、一回に100点とったのが3回なんていう風に言えば
内容は変わっておらず、そして人/組とか点/回といった単位もしっくりくるのではないでしょうか

お礼

ありがとうございます。うーん、まだ迷っています。やはり後者のほうが無理がないような気がしてきました。40人、100点というのは、単独で成り立っている概念じゃなくて、あくまで１組の人数、1回あたりの得点と限定を付けて初めて意味を持ってくるわけですし。

回答No.1

nattocurry

考え方次第でしょうね。
例題の120人も、120人組と考えたほうが良い場合もあるでしょうし、実は120人／学年、と考えてなければならない数字かもしれません。
もちろん、40人／組、100点／回、と言う考え方も、間違いではありません。

たとえば、ある仕事に必要な時間が100時間だった場合、そのまま100時間と表す場合もあるし、100時間・人、と表す場合もあります。
後者の場合は、数人で仕事を分担することが前提で、2人でやれば50時間、10人でやれば10時間で終わる、という意味を含んでいます。

お礼

早速ありがとうございます。ただ、理屈っぽくて済みませんが、
人・組と人／学年は異なると思うんですよね。後者は速さをkm/時であらわすようなイメージではないでしょうか。

時間・人は私も仕事で使っています。人月という奴ですね。システム開発とか．．．。