発散と回転について教えて下さい。

質問

「発散ある」とはベクトルポテンシャルに不連続な部位が存在することを指しますが、
つまりは
磁場には発散がない→全ての磁力線が連続で繋がっている
電場には発散がある→磁場とは異なり単極子が存在しうるために電気力線が連続で繋がっている必要がない

ということを表すということは分かるのですが、回転の方が分かりません。

電場には回転がない、磁場には回転がある、ということからどういうことが分かるのでしょうか？

もちろん回転というものが、任意の閉曲線で線積分したときに値をもつかもたないか
ということは知っていますが、それがあるかないかというのはどういうことに影響してくるのでしょうか？

回答No.1

spring135

発散(div)、回転(rot)、勾配(grad)は基礎的なベクトル演算であって、物理量が空間分布する場合の物理現象を、極めて直観に合致する形で記述するベクトルを取り扱う場合に不可欠な操作ですが、純粋に数理物理学的なものでもあります。よって質問者の質問は以下のように整理する必要があります。
(1)数学(ベクトル解析)としてのdiv、rot、gradの意味を把握したい。
(2)物理現象を一般的に記述する手段としてのベクトルに対する演算としてその意味を知りたい。
(3)電磁気現象を記述するMaxwellの方程式に用いられている電磁気的諸量に対する演算としての意味を知りたい。

(1)への対応としてはベクトル解析と題した本を読むべきです。
(2)への対応としてはファインマン物理学等の物理学全集を読むべきです。
(3)への対応としては電磁気学の本を読むべきです。(2)の一部と考えてもよろしい。
回答者としては(2)を薦めます。ベクトルを制すれば物理の8割を制したようなものです。ベクトルで記述されるのは電磁気の電場E、磁場Bのほかに流体力学の流速ｖ等、いわゆる連続体力学の多くの量です。固体力学ではベクトルをさらに一般化したテンソルという量を取り扱う必要があります。実はMaxwellの方程式から相対性理論を学ぼうとするとテンソルの取り扱いが必要になります。
　その第一歩として電磁気を極めるのは極めて有意義です。
　又、div、rot、gradの意味を純粋に数学的に把握することも有意義です。ベクトル解析のしかるべき本を入手して勉強してください。
　インターネットでたとえば「ベクトル解析」を検索すれば沢山のサイトがヒットしますが、それらは好き勝手に書き散らしてある場合が多く、初心者が学ぶ手段にするには適切でない場合が多いように思われます。どの本がよいかは知り合い、友人等に聞いてみるのがよいでしょう。