バネ定数を求める問題

質問

高校物理の範囲の問題です。

なめらかな面を持つ台形の水平な上面にばね定数がKで質量を無視できるばねが取り付けられている。
ばねの一端には、たるませた上体で長さ4a(m)の質量を無視できるひもが取り付けられており、ひもの他端には質量m(kg)の小球が取り付けられている。
台形の斜面の最高点Aからばねの端までの長さはa(m)、斜面の角度は30度であり、最高点Aには小さな半径を持つ質量を無視出来る滑らかな滑車が取り付けられている。
いま、小球を台形の斜面に沿って上からa(m)の一、点Bに固定し、その後、小球を静かに放した。
重力加速度をg(m/s^2)とし、ひものたるみが無くなるまでの時間tを求めるとt=[あ](s)である。
小球は最下点に達した後、糸がたるむことなく上昇し始めるが、最下点におけるばねののびはa/2(m)であった。よってばね定数はk=[い](N/m)である。

図は添付ファイルのものです。

[あ]は、重力加速度g/2で自由落下するとして考えて、t=2√(2a/g)になりました。解答は合っているようです。
（もしかしてこの考え方も間違えているでしょうか？）

ただ、[い]がどうやって求めたらいいのかわかりません。
解答としては「10mg/a」らしいのですが……。

どのように求めたらいいのか教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

＞＞＞[あ]は、重力加速度g/2で自由落下するとして考えて、t=2√(2a/g)になりました。（もしかしてこの考え方も間違えているでしょうか？）

重力加速度ｇ／２の自由落下として考えたんですか。
頭いいですね。合ってますよ。

＞＞＞ただ、[い]がどうやって求めたらいいのかわかりません。

ひものたるみがなくなったところを基準にし、
そのときの位置をｘと置きます。
あとは、エネルギーの保存を考えます。

エネルギー合計　＝　運動エネルギー　＋　位置エネルギー　＋　ばねの伸びのエネルギー
　＝　１／２・ｍｖ^2　－　ｍｇｘsin30　＋　１／２・ｋｘ^2
（ばねが伸びるほうのｘを正としていますから、ばねが伸びるほど位置エネルギーは減ります。よって、位置エネルギーの符号は負になることに注意してください。）

ひものたるみがなくなった瞬間は、運動エネルギーだけがあります。
その時点を基準としましたから、位置エネルギーとばねのエネルギーはゼロです。

ばねの伸びが最大になったときは、運動エネルギーはゼロになり、ほかの２つがあります。

以上、ご参考になりましたら幸いです。

お礼

回答ありがとうございます。

なるほど、力学的エネルギー保存から攻めればいいのですね。
教えていただいた式を参考に解いてみたところ、無事正しい答えが出ました。
[あ]の方も正しいようで安心しました。
お褒めの言葉まで頂けたようで……。ありがとうございます。

今回はありがとうございました。とても助かりました。