相対運動の運動方程式

質問

2体問題の（慣性系の）運動方程式がベクトル表記で
\ddot{\B{r}}=-\B{r}/r^3
で表されるとします．つまり1/rの中心力のもとでの運動を考えます．
\ddot{・}は2回微分．\B{・}はベクトルを表すとします．
この慣性系で座標x, y, および速度\dot{x}, \dot{y}の方程式は
ラグランジアン
L(x,y)=T-V=(\dot{x}^2+\dot{y}^2)/2+1/(x^2+y^2)^(1/2)
から一般化速度px=\dot{x}, py=\dot{y}
あとは，ハミルトニアンをつくって正準方程式をたてるという方法でも
導くことができます．
同じように，半径１の円運動を原点にして半径方向にxx, それと同じ平面内にyyという回転座標系をとったときにxx, yyと回転座標系での速度\dot{xx}, \dot{yy}に関する運動方程式を導きたいのですが，どうしたらよいのでしょうか？
よろしくお願いいたします．

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

>半径１の円運動を原点にして半径方向にxx, それと同じ平面内にyyという回転座標系

以上がよく読み取れませんが，半径方向r，回転角θとすると
x=rcosθ，y=rsinθ
ですから，
\dot{x}=\dot{r}cosθ-r\dot{θ}sinθ
\dot{y}=\dot{r}sinθ+r\dot{θ}cosθ
となります。もし円運動なら\dot{r}=0ですね。結局
v^2=\dot{x}^2+\dot{y}^2=\dot{r}^2+r^2\dot{θ}^2
となりますが，これは実は極座標の線素
d\B{r}^2=dr^2+r^2dθ^2
からただちに求めることもできます。
これをラグランジアンに代入すればいいのでしょうが，さらに微分を進めると
\ddot{x}=\ddot{r}cosθ-2\dot{r}\dot{θ}sinθ-r\dot{θ}^2cosθ
\ddot{y}=\ddot{r}sinθ+2\dot{r}\dot{θ}cosθ-r\dot{θ}^2sinθ
となります。第1項が半径方向の加速度，第2項がコリオリの力に対応する加速度，第3項が遠心力に対応する加速度になると思います。

補足

どうもありがとうございます．
ただx,ｙではなくて，xxとyyに関する運動方程式を導出したいのですが．．？回転座標系での運動方程式にはなっているようなのですが．．．

>半径１の円運動を原点にして半径方向にxx, それと同じ平面内にyyという回転座標系

というのは円運動に固定した座標系(xx,yy)からみた運動方程式ということです．

また，

>となりますが，これは実は極座標の線素
>d\B{r}^2=dr^2+r^2dθ^2
>からただちに求めることもできます。

の部分の意味がわかりません．

回答No.2

yokkun831

なるほど，回転系から見た相対運動の直交座標表現・・・という意味ですね。

>半径１の円運動を原点にして

半径１の円運動をする点を原点として，その点とともに動く座標系の意味でしょうか？

(x,y)←(xx,yy)の座標変換を与えればよいでしょうか。
角速度ωは一定なのでしょうか（等速円運動）？
とりあえず，ｘ軸からのxx軸の回転角をθとします（等速ならθ=ωt，\dot{θ}=ω）。
(xx,yy)系は，(x,y)系をθ回転させた(x',y')系をx'方向に1だけ平行移動した座標系ですから，
x=x'cosθ-y'sinθ，x'=xx+1
y=x'sinθ+y'cosθ，y'=yy
したがって，
x=(xx+1)cosθ-yy sinθ
y=(xx+1)sinθ+yy cosθ
となります。
これを時間で微分すれば，\dot{x}，\dot{y}を得，２乗の和をとれば
(xx,yy)系による速さ２乗の変換を得ます。

お礼

どうもありがとうございました．おっしゃるとおりただ平行移動すればよいですね．