炎の温度について

質問

こんにちは。私は先日、学校の実験でバーナーの火炎の温度を測定しました。
そこで、炎の中心からの距離と温度についてグラフを作成したのですが、これは一体どのような関数なのでしょうか。
エクセルを使ってグラフを書き、近似曲線を追加しようとしているのですが2次式の多項式近似なのかそれとも4次式なのか…と決定できません。
このような場合どうすればよいのでしょうか？
どなたかご回答よろしくお願いします。

回答No.3

sanori · ベストアンサー

へいっ　まいどっ　　＾＾

＞＞＞ということは近似を多項式にすればするほどグラフは計測データの上にのるということですよね？

近似なのですから、真上に載ることは滅多にありません。

＞＞＞4次式の近似である程度合う場合でも、6次式で近似しても問題ないのでしょうか？

繰り返しになりますが、最初の回答の２～３行目の考え方です。

私の経験では理論的には二次関数になるものが、実際は三次関数に近似したほうがうまくいったということがあります。

＞＞＞また、曲線を何次式で近似したかは明記すべきでしょうか？

グラフの中に式を書くのが親切です。

では、これにて退散・・・

回答No.2

sanori

お礼のお言葉をありがとうございました。

＞＞＞このこと（グラフから得られたデータからの関数の決定）について詳しく書いてある参考書などがありましたら教えていただけませんか？

理論的に何次関数になるかがわかっている場合を除けば、何次関数を選択すべきかを書いた文献は、おそらく存在しないと思います。

多項式近似の理屈が書かれている文献は、結構あると思いますが、
具体的な文献名は知りません。
私は会社の図書館で調べました。

さて、
多項式近似は、最小二乗法そのものです。
考え方としては、データ
（ｘ1、ｙ1）、（ｘ2、ｙ2）、・・・（ｘn-1、ｙn-1）、（ｘn、ｙn）
があるとして、それを三次関数で近似するならば、
ｙk　＋　誤差　＝　ａｘk^3　＋　ｂｘk^2　＋　ｃｘk　＋　ｄ
誤差k　＝　ａｘk^3　＋　ｂｘk^2　＋　ｃｘk　＋　ｄ　－　ｙk
誤差k^2　＝　（ａｘk^3　＋　ｂｘk^2　＋　ｃｘk　＋　ｄ　－　ｙk）^2

Σ[k=1→n]　誤差k^2　＝　Σ[k=1→n]（ａｘk^3　＋　ｂｘk^2　＋　ｃｘk　＋　ｄ　－　ｙk）^2

ここで、ｘk、ｙk はデータですから既知数です。
逆に、ａ、ｂ、ｃ、ｄ　は、これから求めるわけですから、変数です。

二乗誤差である　Σ[k=1→n]　誤差k^2　が極小になるようにするということは、
右辺をａ、ｂ、ｃ、ｄでそれぞれ偏微分した４本の式が全てゼロになるようにするということです。

∂／∂ａΣ[k=1→n]（ａｘk^3　＋　ｂｘk^2　＋　ｃｘk　＋　ｄ　－　ｙk）^2
　＝　Σ[k=1→n]　２ｘk^3（ａｘk^3　＋　ｂｘk^2　＋　ｃｘk　＋　ｄ　－　ｙk）
　＝　０

∂／∂ｂΣ[k=1→n]（ａｘk^3　＋　ｂｘk^2　＋　ｃｘk　＋　ｄ　－　ｙk）^2
　＝　Σ[k=1→n]　２ｘk^2（ａｘk^3　＋　ｂｘk^2　＋　ｃｘk　＋　ｄ　－　ｙk）
　＝　０

∂／∂ｃΣ[k=1→n]（ａｘk^3　＋　ｂｘk^2　＋　ｃｘk　＋　ｄ　－　ｙk）^2
　＝　Σ[k=1→n]　２ｘk（ａｘk^3　＋　ｂｘk^2　＋　ｃｘk　＋　ｄ　－　ｙk）
　＝　０

∂／∂ｄΣ[k=1→n]（ａｘk^3　＋　ｂｘk^2　＋　ｃｘk　＋　ｄ　－　ｙk）^2
　＝　Σ[k=1→n]　２（ａｘk^3　＋　ｂｘk^2　＋　ｃｘk　＋　ｄ　－　ｙk）
　＝　０

考え方は、以上です。
実際に上記の式にｋ＝１からｎまでの（ｘk、ｙk）のデータを放り込んで計算すれば、四次式の係数ａ、ｂ、ｃ、ｄがちゃんと求まります。

上記の説明をご覧になっておわかりになるかもしれませんが、
多項式近似というのは、アルゴリズムを使ったフィッティングではなく、
答えが一意に求まる連立方程式なのです！

こちらは、とりあえず、参考文献の代わりに。
http://www.eli.hokkai-s-u.ac.jp/~kikuchi/ma2/chap08.html

ところで、
多項式近似って、Ｅｘｃｅｌなどの近年の表計算ソフトで簡単にできることはご存知ですよね？

では。

お礼

ご丁寧なご回答大変感謝しております。
最小二乗法による解の決定ですか！
ということは近似を多項式にすればするほどグラフは計測データの上にのるということですよね？
4次式の近似である程度合う場合でも、6次式で近似しても問題ないのでしょうか？また、曲線を何次式で近似したかは明記すべきでしょうか？
たびたびご質問して申し訳ございません。

回答No.1

sanori

こんばんは。

何次式でも構いません。
試してみて、最もよく合う曲線を選ぶだけです。

ただし、以下のことに注意してください。

１．
データ（距離）の刻みが等間隔なデータであること。
（等間隔でない場合は、間隔が狭い箇所のデータを間引きする）

２．
次数に対して、データの点数が十分多いこと。
・・・ざっくり、データの点数÷２　ぐらいが次数の限界です。
（私の経験より）
そうしないと、曲線の両端部分が怪しげな曲がり方をします。

以上、ご参考になりましたら。

お礼

迅速なご回答ありがとうございます。
最も合うものでいいんですね！
このこと（グラフから得られたデータからの関数の決定）について詳しく書いてある参考書などがありましたら教えていただけませんか？