Vをn次元内積空間とする。線形写像f:V→Vがpositive且つ<f(x),x>≧0(∀x∈V)ならtr(f)≧0
内積空間についての命題の証明についてです。
[命題]Vをn次元内積空間とする。
線形写像f:V→Vがpositive且つ<f(x),x>≧0(∀x∈V)ならtr(f)≧0
を示しています。
fがpositiveであるの定義は<f(x),y>=<x,f(y)> (for∀x,y∈V)
tr(f)の定義はfの表現行列Aのトレース
Vの基底を{v_1,v_2,…v_n}とすると
x=Σ[i=1..n]c_iv_i
y=Σ[i=1..n]d_iv_i
(c_i,d_i∈C:複素数体 (i=1,2,…,n))
f(v_j)=Σ[i=1..n]a_ijv_i
と書け,((a_ij)=:Aをfの表現行列という)
<f(x),y>=<f(Σ[i=1..n]c_iv_i),Σ[i=1..n]d_iv_i>
=<Σ[i=1..n]c_if(v_i),Σ[i=1..n]d_iv_i>(∵fは線形写像)
<x,f(y)>=<Σ[i=1..n]c_iv_i,f(Σ[i=1..n]d_iv_i)>
=<Σ[i=1..n]c_iv_i,Σ[i=1..n]d_if(v_i)>(∵fは線形写像)
で仮定より
<Σ[i=1..n]c_if(v_i),Σ[i=1..n]d_iv_i>
=
<Σ[i=1..n]c_iv_i,Σ[i=1..n]d_if(v_i)>
と書ける。。。
からどのようにして証明してけばいいのでしょうか?