負の数と負の数をかけると正になるのは何故？

質問

負の数同士を掛け合わせるとどうして正になるのか，
それは大学レベルの話で，中高生には理解できる話ではないと聞きました．
私は一応大学で数学も勉強したのですが，きちんと納得していません．

何の理論に関係あるのか，
易しく説明している本はあるのか，
など教えていただければ幸いです．

よろしくお願いいたします．

回答No.11

kikancho24 · ベストアンサー

青土社の「負の数学」です。

本です。

お礼

まだ本を手に取っていませんが, 多分私の求める答えはここにありそうな気がします．
ありがとうございました．

回答No.15

karakoro08

乗法や加法がどう定義されるかなどについては数学基礎論などを勉強されるのが良いと思います。
　ただ、負の数に負の数をかけるということについては、複素数平面が理解しやすいのではないかと思います。
　実数軸上では、マイナスをかけるということを０を原点として180度回転移動させるという形で表しますし、虚数軸上でも同様です。複素数平面では掛け算は回転させるという操作で表されています。
　この点で複素数平面上での加法と乗法の振る舞いが違っています。詳細は分かりません。すみません。
　どうも話が負の実数に限られているようですが、負の虚数についても掛け算は同様に機能することから、やはり他の回答者の方がおっしゃられているように複素数に関係しているのではないでしょうか。
もしくは乗法の定義など。
　曖昧な発言で申し訳ありませんが、参考にしていただけたらと思います。

お礼

お答えありがとうございます．

はい，勉強不足ですみません．
基礎論など，勉強してみます．
もしよかったら具体的にどんな本が役に立つか教えていただければ幸いです．

複素平面で考えると分かり易い，というのは中学校レベルでの「分かり易い」とあまり変わらないような気がしますが，やはり意味があるのでしょうか．

「負の虚数」というのはよく分かりません．
そもそも複素数全体の集合は全順序集合ではありませんから，
負の虚数などというものは考えられないのではないでしょうか．
あるいは「-i」を意味しているのであれば，
複素数体は「i」と「-i」とを入れ替えたものが体として同型であるから
その議論はあまり意味がないような気がします．

どうなのでしょうか．

回答No.14

jmh

> ならないような公理系がありうるのでしょうか．
>
ありえないのですか？
(－１)×(－１)＝－１と「する」ことは絶対にできないのですか？
いいえ、単に「(－１)×(－１)＝－１とする」と定義すればよいです。

回答No.13

mota_miho

-2 × -3 がなぜ　6　になるか？

下のパターンを見ると、理屈ぬきに分ります。

-2 × 4 = -8
-2 × 3 = -6
-2 × 2 = -4
-2 × 1 = -2
-2 × 0 =　0
-2 × -1 = 2
-2 × -2 = 4
-2 × -3 = 6
　　・
　　・
　　・

いくつかのサイトを見てみたのですが、数学的な証明（？）としては、分配法則を使って説明しているようですね。

お礼

納得しやすい解答をありがとうございます．

回答No.12

jmh

「負の数と負の数をかけると正に_な_る_のは何故？」は、もし「なる」のであれば、それは貴方の直感が理由だと思いますけど。

補足

「なるのであれば」というのは，そういう公理を考えなさい，ということでしょうか．
ならないような公理系がありうるのでしょうか．

回答No.10

i7010_man

西(－)__________0____________東(＋)
　数直線で説明します。
前提・・・＋と－は反対の性質をもつ。
　　(例)東へ(＋2歩)すすむ→西へ(－2歩)すすむ　と同じ。
1秒で3歩のペースで、0から東へ向かうとします。
　１、2秒後の位置は、東へ6歩のところ
　　　(＋3)×(＋2)＝＋6
　２、2秒前の位置は、西へ6歩のところ
　　　(＋3)×(－2)＝－6
同じペースで、0から西へ向かうとします。
　３、2秒後の位置は、西へ6歩のところ
　　　(－3)×(＋2)＝－6
　４、2秒前の位置は、東へ6歩のところ
　　　(－3)×(－2)＝＋6
　感覚的なものでなく、式での説明がほしかったなら他の方の意見を参考にされればと思います。

お礼

ありがとうございます．
最初にお答えいただいた mota_miho さんの答えと似ていますね．
分かり易い答えだと思います．

回答No.9

noname#111804

0x0=0
故に
（a-a）ｘ（ｂ－ｂ）＝０
↓
ab-2ab+(-a)(-b)=0
↓
(-a）・（－ｂ）＝ab

お礼

何度もお答えありがとうございます．
回答番号：No.7 の答えと似ていますが，多分私の欲しい答えとは違うと思います．

回答No.8

noname#194289

前にも書いたことがありますが、虚数単位iを２回かけると-1になり、４回かけると+1になります。高校でこのことを聞いてなるほどと思っているだけですが、虚数単位を基に考えれば納得が行くように思っていますが、この納得が正当なものかどうかわかりません。

お礼

お答えありがとうございます．

確かに納得してしまいそうですが・・・
複素数全体の集合というのは実数を含む代数的閉体としての必要性から生まれたものではないかと思います
(合っているかどうかわかりませんが)．
負×負が正になるというのは整数環だけでも考えられる問題なので，
複素数を持ち出す必要があるのか，疑問に思います．

どうでしょうか．

回答No.7

noname#111804

0*0=0
ゆえに
(a-a)*(a-a)=0
↓
a*a-2a*a+(-a)*(-a)=0
↓
(-a)*(-a)=+a*a

お礼

お答えありがとうございます．
これなら中学生にもわかるので多分私の思っている答えとは違うと思うのです．

回答No.6

eroermine

自分の所持金を手放すと マイナスになります。
人から金を借りるている事実があると、そのぶんだけマイナスになります。
借金の事実を他人に譲渡すると、そのぶんだけ プラスになります。

小学生でも金の貸し借りをすればいやおうなしにわかりますよ。

お礼

お答えありがとうございます．

でも，もっと概念的なものを知りたいのです．

回答No.5

debukuro

理由はともかくそうしないと大変に都合が悪いことが起こります
正と負の積が負になる場合も同じことです

１辺がx の正方形において
(x-a)(ｘ-b)
の正方形の面積を求める
(x-a)(x+a)
の長方形の面積を求める
この計算をするとそうしなければ都合が悪いということを実感できます
理解できるかどうかとは別問題です