2次元以上のデータの分散の計算の仕方

質問

分散の求め方として，
　σ2＝1/(n-1)Σ(x-mean(x))^2
　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E6%95%A3#.E6.A8.99.E6.9C.AC.E5.88.86.E6.95.A3
という式で求めるわけですが，xが1次元の場合はこれで計算すればいいと思いますが，
3次元以上の場合は，どう求めたらいいのですか？

また，2次元の場合の分散として，σxx，σxy，σyy　の３種類を求めることができる
わけですが，データの散らばりが小さい（より小さい半径の円の中に収まる）
度合いを測るには，σxx，σxy，σyyのどれを使うべきなのでしょうか？
σxxは，xの平均値から最大値までの長さ
σyyは，yの平均値から最大値までの長さ
だと思うのでこれがデータを収めるための円の半径になる気がしているので，
max(σxx，σyy)で散らばりを測るのがいいのかと考えています。
しかし，σxyが幾何的に何を表しているのかイメージできないのでどれを使うべきか迷ってます。

回答No.1

rabbit_cat

ｎ次元の分散は、ｎ×ｎの対称行列になります。共分散といってます。
日本のWikipediaのページはいまいちなので、英語版ですが、定義も載ってます。
http://en.wikipedia.org/wiki/Covariance

質問の後半ですが、
つまり、x、ｙの平均がともに０である場合について言えば、
x' = xcosθ + ysinθ
y' = -xsinθ + ycosθ
みたいな変数変換をしたときに、（θをいろいろ動かしたときの）、x'の分散の最大値を知りたい、ていうことですか？

σx'x' = (sin^2θ)*σxx + (cos^2θ)*σyy + σxy*2sinθCosθ
ですから、これの最大値を求めればいいですね。
高校知識で真面目にやってもいいですし、２次形式なんで適当に処理してもいいです。

補足

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