レンズの問題

質問

高専の問題集より・・・

横36mm,縦24mmのスライドをスクリーン上で、横1.8m,縦1.2mの大きさになるように写したい。このスライドからスクリーンまでの距離を10mとすると、焦点距離がいくらのレンズを用いればいいか？
自分で計算した結果は

倍率…|b/a|=50
倍率の関係式より、b=50a,b=10(m)なのでa=0.2(m)
レンズの式より1/0.2+1/10=1/f
f=5.1(m)となってしまうのですが、答えは19.6(cm)らしいのです…

どなたか私にご教授ください。

回答No.9

hitokotonusi · ベストアンサー

なんか揉めてるようなのでもう一度書きます。

スライド上の大きさをd
スクリーン上の大きさをD
スライドからレンズまでをa
レンズからスクリーンまでをb
焦点距離をf

として関係式は

(1/a)+(1/b)=(1/f)
(D/d) = (b/a) = (b-f)/f
(D/d) = 50

この三つの式から

b=50a
f=b/51

がでます。問題は10mが何かですが、

b=10mなら　

f=10m/51=0.196m = 19.6cm

a+b=10mならb=(50/51)×10m = 9.80m なので

f=9.8/51 = 0.192m = 19.2cm

です。

お礼

皆さん回答ありがとうございました。
B=10mではなくてa+b=10mなのですね。
勉強不足ですね…

回答No.8

rphnn150

二回目もすみません。

はい、19.6cmが正しいと思います。面目ないです。。

回答No.7

cipher_roy

1000/51は何度やっても19.6（cm）になりますが・・・。
19.2とされてる方は1000/52を計算していませんか？

回答No.6

rphnn150

>倍率の関係式より、b=50a,b=10(m)なのでa=0.2(m)
b = 10 (m)ではなく、a+b = 10(m)です。
b = 50a なので、これを上式に代入して、
a + 51a = 10
a = 10/51
となります。後は計算すれば、19.2(cm)がでます。
bはレンズ中心からスクリーンまでの距離です。スライドからレンズ中心までの距離がaです。

回答No.5

cipher_roy

A No.2 & 4 です。

No.4で仮定した形でもう一度関係図を考え直してみました。

すると、焦点からスクリーンまでの間を構成する三角形がＸの50倍と
なり、焦点を挟んで反対側の三角形の底辺（スライド）からスクリーン
までを考えるとＸ＋50Ｘ＝1000、すなわちＸ＝19.6cmが達成されました。

これで大丈夫でしょう。

回答No.4

cipher_roy

念のため、計算もやってみました。
焦点になる交点を頂点とする三角形を考えると、スライドまでの距離を
Ｘ（cm）として、Ｘ＋1000＝50Ｘ
1000＝49Ｘ
Ｘ＝20.4

あれ、合わない・・・？

19.6cmが答えである場合、Ｘの51倍が1000cmとなるような関係が
成立する必要があります。

これを基に考えると、スクリーンとレンズ（スライド映写機の先端）
までの距離で、先の台形の関係が成立し、そこから焦点までの三角形、
さらに反転して焦点距離だけ進んだところにスライドがあることになります。

問題文をもう一度正確に再現していただいても良いですか？

回答No.3

sanori

こんばんは。

倍率は、５０ですね。

スライドからレンズまでの距離をＡ
レンズからスクリーンまでの距離をＢ
と置きます。

Ｂ　＝　１０－Ａ
です。

１：５０　＝　Ａ：Ｂ
１／５０　＝　Ａ／Ｂ
５０Ａ　＝　Ｂ　＝　１０－Ａ
Ａ　＝　１０／５１
Ｂ　＝　１０　－　１０／５１　＝　（５１０－１０）／５１　＝　５００／５１

レンズの公式
１／Ａ　＋　１／Ｂ　＝　１／Ｆ
５１／１０　＋　５１／５００　＝　１／Ｆ
（５０×５１　＋　５１）／５００　＝　１／Ｆ
Ｆ　＝　５００／（５０×５１　＋　５１）
　＝　０．１９２メートル
　＝　１９．２センチメートル

だいたい合いました。
０．４の差は、たぶん、計算途中の丸め方でしょうね。
検算してみてください。

以上、ご参考になりましたら。

回答No.2

cipher_roy

実際に映画館での上映用の映写機の焦点距離でもそんなに長い距離の
代物はないと思います。スクリーンのサイズは縦横ともその５倍
くらいはあります。今回の例に近いサイズの家庭用スライド機なら、
奥行きはせいぜい30cm弱。5.1mも奥行きが必要だったら、一般的な
家庭では視聴できないでしょう。

さて、実際にはスクリーンとスライドを結ぶ関係を台形で書いてみると
とても分かりやすくなります。下辺を180cm（もしくは120cm）、上辺を
3.6cm（同2.4cm）台形の高さを1000cmとして、上辺、下辺の中心を結ぶ
線を上辺を突き抜けて延長させ、斜辺が上がってくるところとの交点を
考えます。その交点となる頂点と上辺の距離が焦点距離になるわけです。

途中の細かい式は省きますが、これを計算すれば、ちゃんと焦点距離
19.6cmが求まります。

回答No.1

hitokotonusi

＞このスライドからスクリーンまでの距離を10mとすると

ａ＋ｂが10ｍのような気もしますが・・・・・

ｂ=50aを入れると

1/a+1/b=1/a+1/50a=51/50a = 1/f
f=(50/51)a = 50/51*0.2=0.196m

ですが・・・・・・