リウビルの定理が感覚的に理解できません

質問

今読んでいる解析力学のテキストにリウビルの定理というのが
でてきました

リウビルの定理は、要は

ハミルトニアンの位相空間において、
幾つかの初期条件の違う点を代表点として選んだときに、
それらの点が時間経過とともにそれぞれ違った軌跡を描いても
点によって囲まれる領域の面積は不変である

ということと理解しました

しかし、初期条件の選び方（つまり位相空間内で点のスタートポイントをどこに決めるか）によっては、点の軌跡がそれぞれ定性的に異なることもあるかと思います。例えばある点はポテンシャルに閉じ込められて位相空間内のある箇所をぐるぐる回ったり、またある点は鞍点の流れに乗って遠くへ飛んでいったりと、、、

普通に考えて、一箇所でぐるぐる留まり続ける点と、一方で遠くへ飛んでいってしまう点から囲まれる領域の面積が不変であるはずがないと思うのですが、、飛んでいってしまう限りは点の間の距離が伸びていくと思うので、、

例えば（手元のテキストの問題そのままですが）

外力 F(q) = -q+q^2 のもとで１次元運動を行う質点
のハミルトニアンは
H = p^2/2m + (1/2)q^2 - (1/3)q^3
ですが、これの位相平面図は
原点(p=0,q=0)付近ではポテンシャルに囲まれて円を
描いていますが、ポテンシャル極大の外側では
外へ飛ばされるような軌跡になります

このような、運動が定性的に異なるような点を代表点として
選んでも、その点によって囲まれる領域は不変というのが
感覚的にどうも納得できません

なにか誤解をしていますでしょうか？

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

>飛んでいってしまう限りは点の間の距離が伸びていくと思うので、、

そう思う理由をどうぞ。

補足

あっすいません、、
幾つかの代表点を直線で結んだ多角形の領域面積が不変であると
勘違いしていました

そうではなくて、代表点の集合からなる領域が不変という
ことですね

回答No.2

eatern27

えっと、仰る例で、「位相空間の２点の距離が離れる」のが正しいのかどうか分からなかったので(位相空間で距離をどう定義するのか分りませんが)、そういう結論になった理由を聞きたかっただけなんですがね。。。

「領域が不変」というのをどういう意味で使ったのか分りませんが、リウビルの定理の主張は、位相空間上の面積(体積)が不変という事でよいですよ。

まぁ、仮に「伸びる」という事が本当だったとしても、その分だけ「細く」なっていれば、面積は不変になり得ますよね。

お礼

すっきりしました

補足

ありがとうございます

＞その分だけ「細く」なっていれば、面積は不変になり得ますよね

仰るとおりです、領域の面積の意味を誤解していました。
これですっきりしました。