ベストアンサー 基本対称式 2008/10/27 19:20 x^2+y^2=(x+y)^2-2xy x^3+y^3=(x+y) {(x+y)^2-3xy} どうしてこういう形になるのか教えてください。 みんなの回答 （2） 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー sanori ベストアンサー率48% (5664/11798) 2008/10/27 19:55 回答No.2 こんばんは。 ｘ＋ｙ の２乗、３乗の公式を知っていれば、すんなりとわかります。 １． x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy 乗法公式 (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 これを右辺の (x+y)^2 に代入すればよいです。 ２． x^3 + y^3 = (x+y) {(x+y)^2-3xy} 右辺は、 (x+y) {(x+y)^2-3xy} = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = (x+y)^3 - 3x^2y - 3xy^2 と書き直すことができます。 そして、 乗法公式 (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 ですので。 質問者 お礼 2008/10/27 21:14 詳しく書いて頂きありがとうございます。 疑問が解消しました。 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 その他の回答 (1) info22 ベストアンサー率55% (2225/4034) 2008/10/27 19:30 回答No.1 >x^2+y^2=(x+y)^2-2xy (x+y)^2の展開式を移項すれば出てくる式です。 >x^3+y^3=(x+y) {(x+y)^2-3xy} 因数分解公式 x^3+y~3=(x+y)(x^2-xy+y^2)において第2項を変形するだけです。 質問者 お礼 2008/10/27 21:11 よく分かりました。 回答ありがとうございました。 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 対称式 x=1-√3,y=1+√3のとき,y/x+x^2+y^2+x/yの値を求めよ。 で、 (1)y/x+x^2+y^2+x/yが,y^2+x^2/xy +x^2+y^2になる理由。なぜ二乗が２つになっているのですか。これが、対称式でyx,xyとx^2+y^2を入れ替えたのなら、なぜx^2+y^2/x^2+y^2 +xyにならないのですか。 (2)(1+ 1/xy){(x+y)^2-2xy}になる理由を教えて下さい。 {(x+y)^2-2xy}は、基本対称式でx^2+y^2だと分かりますが、なぜy^2+x^2/xyが(1+ 1/xy)になるのか分かりません。 対称式のテクニック？ X＋Y XY の値が与えられている。 X^2+Y^2＝ このとき(X+Y)^2-2XYとすれば求められますよね。 それから、X^5+X^5=(X^2+Y^2)(X^3+Y^3)-・・・ って感じにするじゃないですか。 これってX+Y、XYだけであらわせられるようなのですが・・・。この手の問題が来たら、XとYをくくって二乗とか３乗！４乗はY^2＋X^2を全体二乗！って形で覚えればいいんでしょうか。 質問書いているうちに、なんとなくパターンが自分でよめてきちゃいましたが、そもそもどういうことが聞きたかったかというと、基本対称式と言われるもの←XとYとか２文字だけのやつでしたっけそれはXY X＋Yだけであらわすことが可能らしいです。 X^2Y とかなんで残らず消せるのだろうか・・・と疑問におもったのです。 まぁこれもこういうもんなんだって暗記してもいい気がしますが・・・ 理解が深まったほうが暗記の定着にもつながるから質問させてもらいました、おねがいします。 数学 対称式 ｘ＝１－√３,ｙ＝１＋√３のとき,ｙ/ｘ＋ｘ^2＋ｙ^2＋ｘ/ｙの値を求めよ。 という問題でｙ/ｘ＋ｘ^2＋ｙ^2＋ｘ/ｙ＝(ｙ^2＋ｘ^2/ｘｙ)＋ｘ^2＋ｙ^2＝｛１＋(１/ｘｙ)｝｛( ｘ＋ｙ)^2－２ｘｙ｝という途中式が有りまして、 ｛(ｘ＋ｙ)^2－２ｘｙ｝この式は基本対称式を利用してｘ^2＋ｙ^2が｛(ｘ＋ｙ)^2－２ｘｙ｝に変形したと分かるのですが、(ｙ^2＋ｘ^2/ｘｙ)が｛１＋(１/ｘｙ)｝この式に、どうやって変形したのかが分かりません。詳しく細かく教えて下さい。 天文学のお話。日本ではどのように考えられていた？ OKWAVE コラム 数学の対称式について 現在高校１年生で対称式を学んでいます。 対称式は普通のは解けるんですが、分数になるとまったく理解できなくなります。 式が分かりにくいかもしれませんが教えてください。 分からないのは分数の式の読みかえです。 y/x + x/y = x二乗+y二乗/xy と言う読みかえですが、 これの正しい途中式は y/x + x/y = y二乗/xy + x二乗/xy = x二乗+y二乗/xy です。この式の ↑ここまでは分かります。 しかし、 y/x + x/y = y二乗/xy + x二乗/xy = x二乗+y二乗/xy →ここから分かりません。 y/x + x/y = y二乗/xy + x二乗/xy = x二乗+y二乗/xy ↑分母分子にyを ↑分母分子にxをかけてるのは分かります。 すると、 僕の考えでは、 y二乗/xy + x二乗/xy = x二乗+y二乗/xy+yx になると思うのです。 なぜ y/x + x/y の読みかえは x二乗+y二乗/xy+yx ではなく、x二乗+y二乗/xyになるんですか？ 対称式 こんにちは。 よろしくお願いいたします」。 x+y+z=2√3,xy+yz+zx=-3 xyz=-6√3 を満たす実数x,y,zについて次の式の値を求めよ。 （１)x^2/yz+y^2/zx+z^2/xy (2)x^4+y^4+z^4 (1)はできたのですが、(2)がとき方すらわかりません。 答えは(1)-4,(2)162 です。 教えてください。 よろしくお願いいたします。 ３変数の基本対称式に関する不等式って？ ２変数の基本対称式 u=x+y v=xy において、xとyが実数のとき、x,yを解とする方程式 0=(t-x)(t-y)=t^2-ux+v の判別式が０以上なので、 u^2-4v≧0 が成り立ちます。なおx,yが正のとき、この不等式は相加相乗平均の関係を意味します。 では３変数のときはどうなるのでしょうか？ u=x+y+z v=xy+yz+zx w=xyz において、xとyとzが実数のとき、x,y,zを解とする方程式 0=(t-x)(t-y)(t-z)=t^3-ux^2+vx-w において、３つの実数解をもつということは、２つの極値の積が負ということですが、そのときu,v,wの間にはどのような不等式が成り立つのでしょうか? 対称式の不等式 対称式の不等式 『0≦2xy(x+y)+(x+y)(1-x-y)-xy≦7/27』 の証明です。 私はx+y＝s, xy＝t と置き、 中辺＝-s^2+2ts-t＝k ・・・(1)として、 x, yの実数条件：s^2-4t≧0 ・・・(2)とし、 (1)、(2)を連立して、kの範囲を求めればよいと考えたのですが、 (1)が思いの外扱いづらくて行き詰っています。 どなたか解ける方、方針だけでも良いので教えてください。 よろしくお願いします。 数学 対称式 x^3＋y^3＋z^3を x＋y＋z xy＋yz＋zx xyz で表すには x^3＋y^3＋z^3－3xyz＝(x＋y＋z)(x^2＋y^2＋z^2－xy－yz－zx) とわかるのですが なぜこのように 因数分解出来るのですか？ このように因数分解する 『過程』を 面倒ですが、 教えていただきたいです。 3次の対称式について 高校数学を勉強しております。 対称式に関連して、 x^3+y^3+z^3=(x+y+z){x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)}+3xyz という公式がどのようにして導かれたものなのか知りたいのですが、どなたかヒントいただけないでしょうか？ (x+y+z)^3を展開してみるなどして試行錯誤してみたのですが、どうもうまくいきません。 よろしくお願いいたします。 数学 対称式 ｘ^4＋ｙ^4＋ｚ^4の式をｘ+ｙ+ｚ、ｘｙ+ｙｚ+ｚｘ、ｘｙｚを使ってあらわしてください。 どなたか宜しくお願いします。 文字が実数で基本対称式が正数なら元の文字は正数か x∈R、y∈R、x＋y∈R^+、xy∈R^+ ⇔ x∈R^+、y∈R^+ (⇐の証明)正の実数は加法と乗法で閉じている。 (⇒の証明)xy∈R^+ より、 (x、y)＝(正、正)、(負、負) ここで、(x、y)＝(負、負)と仮定すると、x＋yは負となり矛盾 したがって、(x、y)＝(正、正) ところで、 x∈R、y∈R、z∈R、x＋y＋ｚ∈R^+、xy＋yz＋zx∈R^+、xyz∈R^+ ⇔ x∈R^+、y∈R^+、z∈R^+ は成り立つのでしょうか？ 反例、または証明を教えていただきたいです。 証明は、できれば、3次に限らずに一般に成り立つような方法を教えていただきたいです。 文字が整数で基本対称式がp倍なら元の文字はp倍か x∈Z、y∈Z、x＋y∈pZ、xy∈pZ ⇔ x∈pZ、y∈pZ （ただしpは素数） (⇐の証明)pの倍数は加法と乗法で閉じている。 (⇒の証明)xy∈pZ より、 xyはpの倍数 xy/pは整数 xはpの倍数、または、yはpの倍数 xがpの倍数のときを考える。x＋y∈pZより、 x＋yはpの倍数 yはpの倍数 yがpの倍数のときを考えても同様。 ところで、 x∈Z、y∈Z、z∈Z、x＋y＋ｚ∈pZ、xy＋yz＋zx∈pZ、xyz∈pZ ⇔ x∈pZ、y∈pZ、z∈pZ （ただしpは素数） は成り立つのでしょうか？ 反例、または証明を教えていただきたいです。 証明は、できれば、3次に限らずに一般に成り立つような方法を教えていただきたいです。 日本史の転換点？：赤穂浪士、池田屋事件、禁門の変に見る武士の忠義と正義 OKWAVE コラム 3文字の対称式 こんばんは。 よろしくお願いいたします。 x+y+z=xy+yz+zx=2√2+1,xyz=1を満たす実数x,y,zにたいして次の式の値を求めよ。 (1)1/x+1/y+1/z (2)x^2+y^2+z^2 (3)x^3+y^3+z^3 長い時間考えたのですが、x+y+zを分数に変えてみたりいろいろしたのですが、数学が苦手なためうまくいきませんでした。。 答えはそれぞれ (1)2√2+1 (2)7(3)10√2+1 です。 解法がまったくといってよいほど思い浮かびません。 教えてください。よろしくお願いいたします。 [数検1級1次]基本対称式の記述 対称式kx^4＋y^4＋z^4を基本対称式で表したいのですが、模範解答ではｓ(1)などのように問題文や答案に断りのない文字が加わっています。 ちなみに()内は添え字です。 問題集の要点整理のページには、 ｓ(1)＝x＋y＋z ｓ(2)＝xy＋yz＋zx ｓ(3)＝xyz と書いてありますが…。 文字が有理数で基本対称式が整数なら元の文字は整数か x∈Q、y∈Q、x＋y∈Z、xy∈Z ⇔ x∈Z、y∈Z (⇐の証明)Z⊂Qより。 (⇒の証明)a＝x＋y∈Z、b＝xy∈Zとおく。 x、yはt^2－at＋b=0の解 x、ｙ＝{a±√(a^2-4b)}/2 x、ｙ∈Qなので、√(a^2-4b)∈Q (a^2-4b)は平方数で、(a^2-4b)＝c^2(ただしc＞0)とおくと、 x＝(a＋c)/2、y＝(a－c)/2 ここで、xy＝(a^2－c^2)/4∈Zなので、 a、cはともに偶数かともに奇数。 よって、x＝(a＋c)/2∈Z、y＝(a－c)/2∈Z ところで、 x∈Q、y∈Q、z∈Q、x＋y＋ｚ∈Z、xy＋yz＋zx∈Z、xyz∈Z ⇔ x∈Z、y∈Z、z∈Z は成り立つのでしょうか？ 反例、または証明を教えていただきたいです。 証明は、できれば、3次に限らずに一般に成り立つような方法を教えていただきたいです。 2変数関数 対称式の場合 はじめまして。Lussiahと申します。 ｘ、ｙが実数で、２ｘ（2乗）＋３ｘｙ＋２ｙ（2乗）＝１を満たすとき、ｘ＋ｙ＋ｘｙの最大値と最小値が存在すれば求めなさい。 という問題なんですが、知識が足りないものでタイトルの「対称式の場合」の意味もよく分からず途方にくれています。どなたか解き方を教えてください。 よろしくお願いします。 x,、yの対称式と最大・最小 実数x,yがx^2+xy+y^2=27を満たすとき、x+y+xyの最大値・最小値を求めるという問題で、 x+y=u xy=v とおいてu^2-v=27…(1)とu+v=k…(2)とおいてkの最大値・最小値を求めるという問題におきかえて最小値は(2)が(1)に接するときであるところまではいいのですが、最大値は(2)がx,yの実数条件u^2-4v≧0の=0のときの放物線に接するときではないのですか？ 答えは15となっていたので、何か考え方が違うのでしょうか？ どなたか正しい解法と、それを発想するコツやポイントのようなものを教えてください。 数学の問題が分かりません。 質問させていただきます。 (4x^2y-6xy^2+2xy)/2xy-2(x-y) (-x+3y)/4+(2x-4y)/3 を簡単な形に直すという問題です。 分からないので投稿致しました…。 どなたかお答えできますでしょう。 対称式による条件付最大最小問題のある疑問 例えば、x+y=1のとき、 xyの最大値は、x=y=1/2のときで、xy=1/4 xyの下限は、(x,y)=(t,1-t)でt→±∞のときで、xy→-∞ このように、対称式による条件付最大最小問題では、最大や最小、もしくは上限や下限になるのは、x、yが等しいときや極限のときや境界のときが多いです。 対称式による条件付最大最小問題で、最大や最小になるときが、x、yが等しいときや極限のときや境界のときでない場合の「具体例」がありましたらどうか教えてください。 対称式の偏微分 二変数の偏微分で対称式の形になっているときに、偏微分のXとY両方を求めるときにまずXだけ真面目に計算してYのときはXの結果を流用してXとYを入れ替えているのですが。定期テストなどでこの方法はまずいですか？ 注目のQ&A 「You」や「I」が入った曲といえば？ Part2 結婚について考えていない大学生の彼氏について 関東の方に聞きたいです 大阪万博について 駅の清涼飲料水自販機 不倫の慰謝料の請求について 新型コロナウイルスがもたらした功績について教えて 旧姓を使う理由。 回復メディアの保存方法 好きな人を諦める方法 小諸市（長野県）在住でスキーやスノボをする方の用具 カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学（農工医） 学校 受験・進学 留学 その他（学問・教育） カテゴリ一覧を見る OKWAVE コラム 突然のトラブル？プリンター・メール・LINE編 携帯料金を賢く見直す！格安SIMと端末選びのポイントは？ 友達って必要？友情って何だろう 大震災時の現実とは？私たちができる備え 「結婚相談所は恥ずかしい」は時代遅れ！負け組の誤解と出会いの掴み方 あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト コスメ化粧品 化粧水・クレンジングなど 健康食品・サプリ コンブチャなど バス用品 入浴剤・アミノ酸シャンプーなど スマホアプリ マッチングアプリなど ヘアケア 白髪染めヘアカラーなど インターネット回線 プロバイダ、光回線など
お礼
詳しく書いて頂きありがとうございます。 疑問が解消しました。