代入してもアルファベットが数字に直せない

質問

以前も同じ問題を質問したのですが、僕が問題の解き方だけでなく、問題を解く上での悩みや解決方法まで求めてしまったため、スレッドがかなり複雑化してしまったので、改めて一から質問させていただきます。

問
Ｋ君がＡ地点からＢ地点まで車で行くのに全部で２時間かかったが、ＡＢ間のちょうど中間にあるＭ地点までは道が混雑していたので、後半よりも平均速度で２０ｋｍ/ｈ遅くしか走れなかった。また、走行距離は、最初の１時間よりも後の１時間のほうが１６ｋｍ多かった。ＡＢ間の距離はいくらか。

ＡＭ・ＢＭ間の距離→Ｋする
ＡＭ間の速さ→Ｈ－２０とする
ＢＭ間の速さ→Ｈとする
ＡＭ間を走った時間→Ｙ
ＢＭ間を走った時間→Ｚ

僕が自分なりに考えた解き方では、もう途中で行き詰まってしまい、打つ手なしになったので、テキストの解説を読みながら解いてみました。（自力で公式の組み立てを発想することはできなくても、人に言われると「あー、そうすればいいのか」と素直に理解できます。）

テキストの解説
＜Ｋ／（Ｈ－２０）＞＋＜Ｋ／Ｈ＞＝２　…　(1)

（Ｈ－２０）×１＝Ｈ－２０　（速さ×時間＝距離）
２Ｋ－（Ｈ－２０）＝２Ｋ－Ｈ＋２０　（全体の距離－前半の距離）
Ｈ－２０＋１６＝２Ｋ－Ｈ＋２０　　　　…　(2)

自分ひとりでは何をどうしたらよいのかわからずギブアップしたのですが、ここまでの流れは理解できました。でも、問題はこの次です。テキストには(1)(2)を解いて、Ｋ＝４８、Ｈ＝６０となっています。
解き方が省略されているので自分で解いてみたのですが、どうやってもこの答えがでないのです。

Ｈ－２０＋１６＝２Ｋ－Ｈ＋２０　↓
Ｈ－４＝２Ｋ－Ｈ＋２０　↓
２Ｈ＝２Ｋ＋２４　↓
Ｈ＝Ｋ＋１２　…☆

☆を(1)に代入すると、
＜Ｋ／（Ｋ－８）＞＋＜Ｋ／Ｋ＋１２＞＝２
「－８」「＋１２」と数字が違うので、「Ｋ＋９６」をかけてみます。↓
Ｋ－１２＋Ｋ＋８＝２　→　２Ｋ＝６　→　Ｋ＝３
…あれ？（＾＾；

自力でわからなくても、人に言われると「あぁ～、そうだったのか！」と納得できるのですが、いざ自分ひとりでやると何もできません。どうやって解いたらＫ＝４８、Ｈ＝６０になるのでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.7

sanori · ベストアンサー

へいっ　まいどっ　　＾＾

＞＞＞
＞Ｋ＋９６　ではなく、（Ｋ－８）（Ｋ＋１２）　をかけないと
とありますが、実践してみたところ解けませんでした。

ありゃ

＞＞＞　Ｋ／（Ｋ－８）　＋　Ｋ／（Ｋ＋１２）　＝　２
＞＞＞　Ｋ（Ｋ＋１２）＋Ｋ（Ｋ－８）＝２（Ｋ－８）（Ｋ＋１２）
＞＞＞　Ｋ二乗＋１２Ｋ＋Ｋ二乗－８Ｋ＝２（Ｋ二乗＋４Ｋ－９６）
＞＞＞　Ｋ二乗＋１２Ｋ＋Ｋ二乗－８Ｋ＝２Ｋ二乗＋８Ｋ－１９２

ここまではＯＫです。

＞＞＞Ｋ四乗＋４Ｋ＝２Ｋ二乗＋８Ｋ－１９２　…あれ？

ここがおかしいですね。

Ｋ二乗＋Ｋ二乗　は、Ｋ四乗ではなく、２Ｋ二乗　です。

では！

お礼

sanoriさん、いつもありがとうございます。

＞Ｋ二乗＋Ｋ二乗　は、Ｋ四乗ではなく、２Ｋ二乗　です。
難しいですねぇ（+_+）。でも、それで計算したらちゃんと解けました。ありがとうございました。

回答No.10

sanori

まいどっ　　＾＾

＞＞＞
＞Ｋ二乗＋Ｋ二乗　は、Ｋ四乗ではなく、２Ｋ二乗　です。
難しいですねぇ（+_+）。でも、それで計算したらちゃんと解けました。ありがとうございました。

一辺の長さがＫである正方形を思い浮かべてください。
Ｋ二乗は、その正方形１個の面積ですよね？

ということは、
Ｋ二乗　＋　Ｋ二乗　というのは、正方形２個の面積です。
ですから、
Ｋ二乗　＋　Ｋ二乗　＝　２Ｋ二乗　（　＝　Ｋ二乗が２個という意味）
なんです。

文章を数式にすることだけでなく、数式を計算するときも、
いつも、基本に立ち返って考えるとよいですよ。
私なんか、いまだに、連立方程式を解くときには頭に天秤を思い浮かべて計算しています。

お礼

いつも丁寧にありがとうございます。
計算してるとどんどん（＠＠；）となっちゃって大変ですが、頑張ります!!

回答No.9

koko_u_

>ありがとうございます。そうですね、今日になってもう一度問題を見返したら新しい疑問点が沸きました。
沸騰されても困る

>テキストの解説では「最初の1時間で走った距離はＡＭ間の距離の途中までで、
>後の1時間で走った距離はＡＭの残りの距離＋ＢＭ」となっていました。

>しかし、今日問題を読み直して僕の頭に真っ先に浮かんだのは、
>「最初の1時間で走った距離はＡＭ＋ＢＭの途中までで、後の1時間で走った距離はＢＭの残りの距離」
>というイメージでした。

テキストの解説は「納得」のいくものでしたか？補足にどうぞ。
あなたのイメージで「後の1時間で走った距離はＢＭの残りの距離」と結論付けた根拠を補足にぞうぞ。

お礼

ありがとうございます。

＞沸騰されても困る
最初、何のことだろう？と首をかしげていたのですが、そういうことだったのですね笑。ま、それはいいとして。

＞あなたのイメージで「後の1時間で走った距離はＢＭの残りの距離」と結論付けた根拠を補足にぞうぞ。

今、一生懸命、そう疑問に感じた理由を書いていたのですが…途中でわかりました。中間地点をはさんだ前半・後半の距離は等しいから、
「走行距離は、最初の１時間よりも後の１時間のほうが１６ｋｍ多かった」という問題文から、「後の1時間で走った距離はＢＭの残りの距離」はありえない、と判断するべきだったのですね。やっとわかりました。

回答No.8

arrysthmia

No.6 です。今回も酷いですね。

＞「Ｋ＋数字」はセットだから、打ち消すためには同じ「Ｋ＋数字」が必要だと思ったんです。
＞ ９６なら、－８も＋１２も対応できる数字なので、分数をスッキリできると考えました。

「セット」「対応できる」「スッキリできる」という言葉が、全て未定義で、
説明に全く内容がありません。特に「対応できる」という表現に全く意味が無いことが、
今回の場合、致命的です。

「対応できる」という言葉の意味は何で、９６ は、どのように「対応できる」のか、
思うところを書いてみなさい。それができないなら、補足に書いた文章は「説明」では
ありません。雰囲気で単語を並べただけのものは、「文章」とも呼べません。

雰囲気で式変形をして、間違いを自分で検討するために理由を挙げてみよ　といわれても、
再び、あまり考えずに雰囲気だけの返答をする。
問題に対しても、自分自身に対しても、相手をしている者に対しても、不誠実すぎて
話になりません。要するに、真剣味が足りません。
間違うことと、イイカゲンに書くことは、全く違います。
真剣に考えて書いた間違いは、それを反省すれば、理解のきっかけになりますが、
何も考えずに雰囲気だけで書いたものが、勉強の足しになることは、ありえません。

＞ Ｋ＋９６をかけた目的は、あくまで分数を分数でなくすためだからです。
＞ よって、分数にのみかけました。

根拠の無い式の書き換えをしても、「分数をなくす」ことができると考えているのなら、
「分数は嫌だから、左辺は Ｋ で置き換える。よって Ｋ ＝ ２。」としても同じことです。
これが、正しいですか？　式変形には、それが等式変形である根拠が必要です。

忠告できることは、ひとつだけ。
自分の書いたことが合っているかどうか　常に理由を考えなさい。
「そんな感じのを見たことある。」ではなく、その見たことある解答に何が書いてあって、
それが今回の場合にも当てはまるのかどうかを。他人に説明するように。

お礼

今回のコメントで何を伝えたいのかよくわかりませんが…他の方から教えていただいた解き方でちゃんと解けましたので大丈夫です。ありがとうございました。

回答No.6

arrysthmia

いくつもの質問で、何度も繰り返されたことですが、
貴方は、解答の内容を理解しないまま、丸暗記しようとするから
いつも公式の使い方を間違えるのです。
その方法では、解答を読んだことのある問題と一言一句違わない
全くの過去問意外には、答えられるようになりません。
魔法使いの弟子が、呪文を唱え違えるようなものです。
たまには頭も使って、書いてあることの内容を、
覚える前に、読み取ろうとしてみましょう。

＞　＜Ｋ／（Ｋ－８）＞＋＜Ｋ／Ｋ＋１２＞＝２
＞　「－８」「＋１２」と数字が違うので、「Ｋ＋９６」をかけてみます。↓
＞　Ｋ－１２＋Ｋ＋８＝２　

分母の違う式を整理するときは、分母の積を掛けろ　と書いてあるのを
どこかで見かけたのですね。そして、掛け声だけは覚えていたけれど、
それをどうやって行うのかは覚えていなかったわけです。
最初にどこかで説明を読んだときに、「何か掛ける」を覚えるだけでなく、
そこに書いてある式変形が、どういうカラクリで上手く行くのかを
一度考えて、内容に「納得」していれば、

＞　「Ｋ＋９６」をかけてみます。

を思いついたりはしません。
９６ は、８×１２ なのでしょうが、なぜ、Ｋ－８ と Ｋ＋１２ から
８ と １２ だけ取り出して、掛けて、挙句にまた Ｋ 足して Ｋ＋９６ を作ろうと
思ったのか、それで何が得られると思ったのか、説明してみなさい。
「何か、そんなのを読んだことある気がする。」は、理由にはなりません。
自分のしたことの理由を説明できない場合、その行動は、たいてい間違っているのです。
これは、数学に限った話ではありません。

ここで「約分」を行うとすれば、そのやり方は、
両辺に、違っている分母の積 (Ｋ－８)(Ｋ＋１２) を掛けて、
＜Ｋ／(Ｋ－８)＞(Ｋ－８)(Ｋ＋１２) ＋ ＜Ｋ／(Ｋ＋１２)＞(Ｋ－８)(Ｋ＋１２) ＝ ２(Ｋ－８)(Ｋ＋１２)
です。
この操作が正しい理由は、等式の両辺に同じ数を掛けても、やはり ＝ がなりたつからです。
だから、右辺にも、(Ｋ－８)(Ｋ＋１２) を掛けておかなければなりません。

これの分子分母から (Ｋ－８) や (Ｋ＋１２) が消えて、
Ｋ(Ｋ＋１２) ＋ Ｋ(Ｋ－８) ＝ ２(Ｋ－８)(Ｋ＋１２)
となる。
分数の分子と分母に掛かっている同じ因子が相殺されて消えることを「約分」というのです。
この操作が正しい理由は、分数の分子分母に同じ数を掛けたり、同じ数で割ったりしても
分数の値は変わらないからです。

ひとつひとつの式変形に、理由があります。
問題集の「解答」に、ここまで微に入り細に入り理由を書いていないのは、
いちいちそこまで書かなくても読めば分かる程度のひとが解答を読むことを
前提としているからです。
理由がないからでも、執筆者に説明するだけの知識がないからでも、ありません。

＞ Ｋ－１２＋Ｋ＋８＝２

の式が、なぜその形になるのか。 (Ｋ－８) や (Ｋ＋１２) は、どうやって消えたのか？
因子 Ｋ は、どこへ行ってしまったのか？ (Ｋ－８)(Ｋ＋１２) を左辺にだけ掛けて、
右辺を ２ のままにしたのは、なぜ、それでよいと思うのか？
間違っていて構いません。自分の言葉で、説明してみましょう。
それが、どう間違っているのかを理解することが、例題を本当に理解するということです。

理解せずに覚えても、使うときに間違えて思い出すだけです。今回のように。

お礼

ありがとうございます。

”９６ は、８×１２ なのでしょうが、なぜ、Ｋ－８ と Ｋ＋１２ から８ と １２ だけ取り出して、掛けて、挙句にまた Ｋ 足して Ｋ＋９６を作ろうと思ったのか、それで何が得られると思ったのか、説明してみなさい。”

「Ｋ＋数字」はセットだから、打ち消すためには同じ「Ｋ＋数字」が必要だと思ったんです。９６なら、－８も＋１２も対応できる数字なので、分数をスッキリできると考えました。

”右辺を ２ のままにしたのは、なぜ、それでよいと思うのか？”

Ｋ＋９６をかけた目的は、あくまで分数を分数でなくすためだからです。よって、分数にのみかけました。

回答No.5

ibunseki

ｄ(km) 　　　　　　ｄ(km)
Ａ　　u(km/h)　　　　　Ｍ　　　v(km/h)　　　　　Ｂ
Ａ　u(km/h)・1h　|　　 　　2d(km)-u(km)　　　Ｂ

{d/u}+{d/v}=2
u=v-20
d-u=8

dv+du=2uv
d=v-12 ----> v=(d+12)
d=u+8　--->u=(d-8)

d(d+12)+d(d-8)=2(d+12)(d-8)
(d^2)+12d+(d^2)-8d=2(d^2)+8d-192
12d-8d=8d-192
192=4d
2d=96

ＡＭ＝ＢＭ＝ｋ、（ＡＭ間の速さ）＝ｈ－２０、（ＢＭ間の速さ）＝ｈ

>> Ａ地点からＢ地点まで２時間かかる。
>> 　　　　｛ｋ/(ｈ－２０)}＋｛ｋ/ｈ}＝２・・・（１）
>> 最初の１時間の走行距離は、ｈ－２０
>> 後の１時間の走行距離は、２ｋ－ｈ＋２０
>> 後の１時間が１６ｋｍ長い。
>> 　　　　ｈ－２０＋１６＝２ｋ－ｈ＋２０
>> 整理して、
>> 　　　　ｈ＝（ｋ＋１２）、（１）に代入し整理して、　
>> ｛ｋ/(ｋ－８)}＋｛ｋ/（ｋ＋１２）}＝２

　　通分し、
｛ｋ（ｋ＋１２）/(ｋ－８)（ｋ＋１２）}＋｛ｋ(ｋ－８)/(ｋ－８)（ｋ＋１２）}＝２
｛ｋ（ｋ＋１２）＋ｋ(ｋ－８)}/(ｋ－８)（ｋ＋１２）＝２

分母・分子に(ｋ－８)（ｋ＋１２）を掛けて、
　ｋ（ｋ＋１２）＋ｋ(ｋ－８)＝２（ｋ－８)（ｋ＋１２）

　　展開・整理して、
（ｋ＾２）＋１２ｋ＋（ｋ＾２）－８ｋ＝２｛（ｋ＾２）＋４ｋ－９６｝
　　　　　　　　２｛（ｋ＾２）＋２ｋ｝＝２｛（ｋ＾２）＋４ｋ－９６｝
　　　　　　　　　　　（ｋ＾２）＋２ｋ＝（ｋ＾２）＋４ｋ－９６
　　　　　　　　　　　　　　　　　９６＝２ｋ＝ＡＢ。

ｈは求める必要はないけれど、ｈ＝（ｋ＋１２）＝４８＋１２＝６０。

お礼

ありがとうございました。

回答No.4

R_Earl

> ＜Ｋ／（Ｋ－８）＞＋＜Ｋ／Ｋ＋１２＞＝２
> 「－８」「＋１２」と数字が違うので、「Ｋ＋９６」をかけてみます。↓
> Ｋ－１２＋Ｋ＋８＝２　→　２Ｋ＝６　→　Ｋ＝３

分母は(K - 8)でワンセット、(K + 12)でワンセットになっています。
Kと-8を切り離すのは駄目ですし、Kと+12を切り離してしまうのも駄目です。
ですから-8かける+12をするのではなく、(K - 8)かける(K + 12)をします。

また、左辺だけではなく、両辺にかけて下さい。
=は「左と右が同じ」という意味です。
片方だけに何か数をかけてしまうと、「左と右が同じ」という関係が崩れてしまいます(イコールにならない)。

それから、計算過程の省略はあまりやらない方が良いです。
自分がどこでミスしたかが把握できなくなるからです。

＜Ｋ／（Ｋ－８）＞＋＜Ｋ／Ｋ＋１２＞＝２
Ｋ－１２＋Ｋ＋８＝２

これだと、「Ｋ＋９６をかけた直後（約分をする前）」が抜け落ちています。
この過程をしっかり書いていれば、(Ｋ＋９６)で約分ができないことに気が付く可能性があります。

ところで分母の『ワンセット』という話は、実は過去の質問から持ってきた話です(参考URLの質問です)。
再度そちらの質問とその回答、それから質問者さんが書いたお礼の内容を確認してみて下さい。
読み返してみると、より深い理解を得られるかもしれません。

過去の『自分』の疑問と、その疑問に対する『自分』の解釈を振り返ってみるのも、良い勉強になると思います。

参考URL：

http://okwave.jp/qa4000240.html

お礼

ありがとうございます。

ナハハ…ありがとうございます（^_^;）。そうですね、前回やった記憶が残っていたため、「Ｋ＋数字」は切り離してはいけないという意識だけは実践できました。(K - 8)かける(K + 12）までは思い出すことができませんでした。

(K - 8)、（K + 12)がセットという意識があったため、Ｋ＋９６をかければ解けると考えて計算してみました。しかし、なぜ(Ｋ＋９６)で約分ができないのかが疑問です。Ｋは打ち消すことができますし、９６は８でも１２でも対応できます。ここいらへんがアルファベットを数字にできない壁になっているようです…。

回答No.3

koko_u_

>自力でわからなくても、人に言われると「あぁ～、そうだったのか！」と納得できるのですが

答えは既に出ているので、いつものアドバイスを書くと
それは『納得』しているのではなくて、参考書に「～～となります」と書いてあるので「ああ、そうなんだ～」と無批判に受け入れているだけです。

いろいろ道程は長そうですね。

お礼

ありがとうございます。そうですね、今日になってもう一度問題を見返したら新しい疑問点が沸きました。

テキストの解説では「最初の1時間で走った距離はＡＭ間の距離の途中までで、後の1時間で走った距離はＡＭの残りの距離＋ＢＭ」となっていました。

しかし、今日問題を読み直して僕の頭に真っ先に浮かんだのは、「最初の1時間で走った距離はＡＭ＋ＢＭの途中までで、後の1時間で走った距離はＢＭの残りの距離」というイメージでした。

どっちが正解でどっちが不正解という証拠がないため、これ以上判断することができませんでした。

回答No.2

sanori

お、　hypnosisさん　頑張ってますね！

Ｈ＝Ｋ＋１２　…☆　を（１）に代入すると、
Ｋ／（Ｋ－８）　＋　Ｋ／（Ｋ＋１２）　＝　２
ここまではよいです。

ここで　Ｋ＋９６　をかけると、
Ｋ（Ｋ＋９６）／（Ｋ－８）　＋　Ｋ（Ｋ＋９６）／（Ｋ＋１２）　＝　２（Ｋ＋９６）
こうなってしまいます。

分母の（Ｋ－８）と（Ｋ＋１２）を消去するには、
Ｋ＋９６　ではなく、（Ｋ－８）（Ｋ＋１２）　をかけないといけません。

Ｋ／（Ｋ－８）　＋　Ｋ／（Ｋ＋１２）　＝　２
両辺に（Ｋ－８）（Ｋ＋１２）をかけて、
Ｋ（Ｋ－８）（Ｋ＋１２）／（Ｋ－８）　＋　Ｋ（Ｋ－８）（Ｋ＋１２）／（Ｋ＋１２）　＝　２（Ｋ－８）（Ｋ＋１２）

約分して
Ｋ（Ｋ＋１２）　＋　Ｋ（Ｋ－８）　＝　２（Ｋ－８）（Ｋ＋１２）

Ｋ（Ｋ＋１２＋Ｋ－８）　＝　２（Ｋ－８）（Ｋ＋１２）
Ｋ（２Ｋ＋４）　＝　２（Ｋ－８）（Ｋ＋１２）

２で約分して
Ｋ（Ｋ＋２）　＝　（Ｋ－８）（Ｋ＋１２）
Ｋ^2　＋　２Ｋ　＝　Ｋ^2　＋　４Ｋ　－　９６
２Ｋ　＝　９６
Ｋ　＝　４８

以上、ご参考になりましたら。

お礼

ありがとうございます。

＞Ｋ＋９６　ではなく、（Ｋ－８）（Ｋ＋１２）　をかけないと
とありますが、実践してみたところ解けませんでした。

Ｋ／（Ｋ－８）　＋　Ｋ／（Ｋ＋１２）　＝　２

Ｋ（Ｋ＋１２）＋Ｋ（Ｋ－８）＝２（Ｋ－８）（Ｋ＋１２）
Ｋ二乗＋１２Ｋ＋Ｋ二乗－８Ｋ＝２（Ｋ二乗＋４Ｋ－９６）
Ｋ二乗＋１２Ｋ＋Ｋ二乗－８Ｋ＝２Ｋ二乗＋８Ｋ－１９２
Ｋ四乗＋４Ｋ＝２Ｋ二乗＋８Ｋ－１９２　…あれ？

回答No.1

BookerL

＞　＜Ｋ／（Ｋ－８）＞＋＜Ｋ／Ｋ＋１２＞＝２
＞　「－８」「＋１２」と数字が違うので、「Ｋ＋９６」をかけてみます。↓

(Ｋ－８)(Ｋ＋１２)　をかけなければ。

Ｋ／（Ｋ－８） に 「Ｋ＋９６」をかけても 分母は消えません。

お礼

ありがとうございます。

＞Ｋ／（Ｋ－８） に 「Ｋ＋９６」をかけても 分母は消えません。

Ｋを打ち消して、「９６」と「－８」で、－１２にすればよいと考えました。