∫[π/2,0]-sint/1+sint dtについて。

質問

∫[π/2,0]-sint/1+sint dt
という積分の問題についてなのですが、自分は最初
tan2/t = x
などとおいて、sintを全部xに変換してそうすると、
∫[1,0]2x/(1+x)^2dx
になって、さらに1+x=yでyに変換すると
2∫[2,1]logy+1/y dy
になり、答えが2log2-1
になるのですが、解答をみると、答えが
π/2-1
になっています…。
上のやり方では間違っているでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.5

info22 · ベストアンサー

#3です。
質問者さんが回答者の回答に対して、指摘されたことをやって、補足にその結果を書き、必要に応じて分からない所を追加質問しないと問題が解決しないよ。
A#3の■には、
2/(1+x^2)
が入り、
積分は
∫[1,0] -4x/{(1+x^2)(x+1)^2}dx
となり、被積分関数は部分分数展開してやると
=∫[1,0] [{2/(x+1)^2}-{2/(1+x^2)}]dx
となって
=∫[1,0] {2/(x+1)^2}dx+∫[1,0] {-2/(1+x^2)}]dx
=　　-1　　 + (π/2)
=(π/2)-1
と言う計算になります。

回答No.6

yhposolihp

tan(t/2)=x と置くのはオールマイティらしいですが、
計算が複雑になるんで、避けれるときは避けた方がいいかもしれません。
>>上のやり方では間違っているでしょうか。
まだ調べていないので・・・。
とりあえず、式変形だけで置換もせずに解いてみました。

不定積分を算出してしまいます。
∫dt[-sint/(1+sint)]
=∫dt[-1-sint+1/(1+sint)]
=-∫dt+∫dt[1/(1+sint)]
=-t+∫dt[1-sint/((cost)^2)]
=-t+∫dt[1/((cost)^2)]+∫dt[-sint/((cost)^2)]
=-t+tant-(1/cost)
=-t-[(1-sint)/cost]
=-t-[((cost)^2)/cost(1+sint)]
=-t-[cosT/(1+sint)]

定積分は、[π/2,0]
｛-0-(1/1)} - { -(π/2)- 0}=(π/2)-1　...

お礼

みなさん回答ありがとうございます。
また、質問文の式が曖昧で申し訳ありませんでした。
結局質問文のやり方でNo3さんの指摘のところを、もう一度計算したらうまくできました。
違う方法も教えていただきとても勉強になりました。
ありがとうございました。

回答No.4

ji---san

なんでログが出てくるかを含めずいぶんとおかしいです。
この手の問題は、先に三角関数をいじるほうが楽です。

まずsin(pi/2-x)=cosx　であることを思い出すと、
x=pi/2-tの変換で(積分区間は自分で考えてね)、被積分関数は
cost/(1+cost)となります。次にcost=2cos^2(t/2)-1をこれに入れると、
1-1/2cos^2(t/2)となります(符号や係数はチェックしてください)
最後の形の1/cos^2(x)はtanxの微分ですね(覚えていれば)
だから暗算でできます。

こういうとき方もあるということで。

回答No.3

info22

> ∫[π/2,0]-sin(t)/(1+sin(t)) dt
> tan2/t = x
> などとおいて、
tan(t/2) = x
とおいて

> ∫[1,0]2x/(1+x)^2dx
この式が間違いです。
dt=■dx
の■の関数を忘れていますよ。

解答の答(π/2)-1
は合っています。

回答No.2

R_Earl

> ∫[π/2,0]-sint/1+sint dt

被積分関数は(-sint) / (1 + sint)でしょうか？

> ∫[1,0]2x/(1+x)^2dx
> になって、さらに1+x=yでyに変換すると
> 2∫[2,1]logy+1/y dy
> になり、答えが2log2-1

このあたりの計算はあってると思います。

> tan2/t = x
> などとおいて、sintを全部xに変換してそうすると、
> ∫[1,0]2x/(1+x)^2dx

ここの変形が違うのではないでしょうか？
よろしければここの計算過程を教えてくれませんか？

回答No.1

reiman

式は（）を使ってきちんとかこう。
その積分式は式になっていません。