4次元空間の4つのベクトルが張る空間が1次元、2次元、3次元、4次元である条件
4次元空間にゼロベクトルでない4つのベクトルを考えます。
a↑=(a[1],a[2],a[3],a[4])
b↑=(b[1],b[2],b[3],b[4])
c↑=(c[1],c[2],c[3],c[4])
d↑=(d[1],d[2],d[3],d[4])
とします。
これらのベクトルで張られる空間が1次元、2次元、3次元、4次元である条件を求めたいのです。
各ベクトルを並べて行列(a↑ b↑ c↑ d↑)を作り、基本変形で階数を計算するというアルゴリズムではなく、各成分の代数的な関係を求めたいのです。
4つのベクトルで張られる空間が4次元のとき、超体積が0ではないので、行列式
｜a↑ b↑ c↑ d↑｜≠０
4つのベクトルで張られる空間が1次元のとき、すべて平行なので、
a↑∥b↑∥c↑∥d↑
a[1]：a[2]：a[3]：a[4]＝b[1]：b[2]：b[3]：b[4]＝c[1]：c[2]：c[3]：c[4]＝d[1]：d[2]：d[3]：d[4]
(a[1]/a[4],a[2]/a[4],a[3]/a[4])＝(b[1]/b[4],b[2]/b[4],b[3]/b[4])
＝(c[1]/c[4],c[2]/c[4],c[3]/c[4])＝(d[1]/d[4],d[2]/d[4],d[3]/d[4])
このあと、一つの式にする、つまり、イコールを一つだけにしてきたいのですが、複雑そうです。行列式またはシグマ記号を使って、表記できないでしょうか？
4つのベクトルで張られる空間が2次元、3次元のとき、それぞれの各成分にはどういった関係式があるのでしょうか？
補足
次元一般ではなく、空間についての次元のつもりだったのですが・・・