オリジナル数II ４２２

質問

nは自然数とする。(x^n-2)f'(x)=f(x),f(4)=3を満たすnの値と,多項式で表された関数f(x)を求めよ。

答えはn=1,f(x)=(3/2)x-3なのですが、途中の考えがわかりません...

よろしくお願いします!!!

回答No.5

take_5

＞a≠0から、これは成立しないね。問題が、可笑しくないか？

相変わらず軽率だね、なに考えてたんだろう。。。。。恥

＞(x-2)*f'(x)＝f(x)が恒等的に成立するから、f(x)＝ax＾(m)とすると
(am){x＾（m）-2mx＾（m-1）-x＾（m）}＝0であるから、m＝1.

　　　　　　　↓

(x-2)*f'(x)＝f(x)が恒等的に成立するから、f(x)＝ax＾(m)とすると
両辺の最大次数は、x＾（m）でその時の係数は、左辺＝am、右＝aであるから、m＝1。

回答No.4

kumipapa

#1 です。ごめん。これ、f(x) が n 次多項式という条件はいらないんだね。
f(x) を m 次多項式として、f(x) = Am x^m +　... とすると
(x^n - 2) f ' (x) = f(x)
より、両辺の次数がそろわなければならないから n = 1
このとき、
左辺の x^m の係数は m Am
右辺の x^m の係数が Am
より、
m Am = Am
Am ≠ 0
∴ m = 1
か。
あとは、f(x) = ax + b とおいて、解けばよい。
勘違いしてごめんな。

お礼

いえいえ！！

ありがとうございます！！

回答No.3

take_5

あっ、うっかり。。。。笑

＞(am){x＾（m）-2mx＾（m-1）-x＾（m）}＝0であるから、m＝1.

a≠0から、これは成立しないね。問題が、可笑しくないか？

回答No.2

take_5

関数f(x)の最大次数をmとし、その係数をa(a≠0)とする。
f'(x)＝am*x＾(m-1)から、(x^n-2)f'(x)＝f(x)に代入して整理すると、(am){x＾（m+n-1）-x＾（m-1）-x＾（m）}＝0.　
am≠0より、x＾（m+n-1）＝x＾（m-1）＋x＾（m）。
これが任意のxについて成立する。ところが、左辺の最大次数はm+n-1、右辺の最大次数はm。
従って、m+n-1＝mであるから、n＝1。
そこで、(x-2)*f'(x)＝f(x)が恒等的に成立するから、f(x)＝ax＾(m)とすると、
(am){x＾（m）-2mx＾（m-1）-x＾（m）}＝0であるから、m＝1.
そこで、f(x)＝ax＋bとして、(x-2)*f'(x)＝f(x)とf(4)＝3から、答えが出る。

回答No.1

kumipapa

＞　(x^n-2) f ' (x) = f(x) ,　f(4)=3
問題が不完全ではないですか？
関数 f(x) が一意に定まるためには、少なくとも f(x) がｎ次多項式でなければなりません。なぜならば、f(x) を m 次多項式とすると、
(x^n-2) f ' (x) = f(x)　・・・(1)
の左辺の次数は n + m - 1 次、右辺は m 次であり、(1)が恒等であるためには両辺の次数が一致しなければならないことから
n + m - 1 = m
これより、n = 1 は定まりますが、m は任意の自然数で成立。m 次多項式でf(4) = 3 を満足するものは無数にありますので、解けません。
ということで、問題は f(x) が n 次多項式だという条件があるのでは？

すると、(1) 式の左辺の次数は 2n - 1 次、右辺の次数は n 次より、
2n - 1 = n
∴ n = 1

f(x) = ax + b とおいて、
(x^n-2) f ' (x) = f(x) より、
(x - 2) a = ax + b
∴　b = -2a
∴　f(x) = ax - 2a
f(4) = 3 より
4a - 2a = 3
a = 3/2

n = 1
f(x) = (3/2) x - 3

重要な条件を落として質問するのはやめて欲しい。
そういう条件を安易に見落とす、または、書き忘れるのは、何が大切なのか、ということを分かってないからでしょう。