電磁気学についての問題を解いてください。

質問

砂川「理論電磁気学」の問題が解けずに悩んでいます。
半径a,bなる同心球のあいだを比誘電率ε*，電気伝導率σの物質でみたし，内球にはじめQ_0なる電荷を与えるとき，t秒後における内球上の電荷，およびその時までに発生する熱量を求めよ。
次に，t=∞で遂に定常状態に達するまでに発生する全熱量を
(i)時間的変化を考えて，上の結果を利用することにより
(ii)純静電的方法により
求めよ。
という問題です。前半だけでも構いませんので，どなたかご回答お待ちしております。

回答No.1

foobar · ベストアンサー

内球の電荷をQとする。ガウスの法則から、半径r(a<r<b)における電界強度E=Q/(4πεr^2) (ただしε=ε0ε*)、その地点での電流密度j(r)=Eσ=σQ/(4πεr^2)。

内球からの電流J(=-dQ/dt)=j*4πr^2=σQ/εから、Qを計算するとQ=Cexp(-σt/ε)。
t=0でQ=Q0より、Q=Q0exp(-σt/ε)。

発熱密度 u=σj^2=σQ^2/(4πεr^2)^2なので、全体の発熱w=∫udv=∫4πr^2udr (積分区間はaからb)=σQ^2/(4πε)(1/a-1/b)=σQo^2(1/a-1/b)exp(-2σt/ε)/(4πε)。
時刻t=0からtまでの発熱量W(t)=∫wdt(積分区間 0からt)=σQo^2(1/a-1/b)/(-8σπ)(exp(-2σt/ε)-1)=Q0^2(1/a-1/b)/(8π)(1-exp(-2σt/ε))。

i) Wにおいてt=∞とすると,W(∞)=Q0^2(1/a-1/b)/(8π)。

ii)半径rの球導体に電荷Qが溜まっているときの電位V=Q/(4πεr)で、その時の静電エネルギ
U=QV/2=Q^2/(8πεr)。
電荷Q0が内球に溜まっていたときのエネルギーU1=Q0^2/(8πεa)、t=∞で、電荷が全て外球に蓄えられたときのエネルギーU2=Q0^2/(8πεb)、その差が発熱なので、ΔU=U1-U2=Q0^2/(8πε)*(1/a-1/b)。