マルコフ過程の定常状態を利用しての確率問題について
１匹のハツカネズミがリング形の円形籠内に入れられている。籠は通路で連結された３つの仕切り１，２，３をもっている。ハツカネズミは１時間に２回、仕切り１から仕切り２へ行き、１から３へ４回行く。また、２から１へ６回、２から３へ４回行く、最後に３から１へ３回、３から２へ１回行くことが実験的に長期にわたり観察されている。ハツカネズミはt=0で仕切り１にいることが観察された。１５分の終りに、ハツカネズミが仕切り１にいる確率はいくらか。
連続マルコフ過程に対する微分方程式は
dP1/dt=-6P1+6P2+3P3,
dP2/dt=2P1-10P2+P3,
dP3/dt=4P1+4P2-4P3 で、
定常状態確率は平衡方程式をといて、P1(∞)=3/8,P2(∞)=1/8,およびP3(∞)=1/2となる。
ここまでは理解できますが、これから先が良く解りません。
係数行列の特性根はつぎの方程式を満たす：
{{-6 - r, 2, 4},{6, -10 - r, 4},{3, 1, -4 - r}} = 0
これよりr=0,-8,および-12が得られる。
この辺りの計算の仕方は出来ますが、以降不明な事ばかりです。
それゆえ、過程に対する微分方程式の解はつぎの形をとる：
P1(t)=3/8+A1e^-8t +A2e^-12t
P2(t)=1/8+B1e^-8t +B2e^-12t
P3(t)=1/2+(-A1-B1)e^-8t +(-A2-B2)e^-12t
この式はどの様な導出過程から現れるのかお教え下さい。
第３方程式の係数は、すべてのtの値に対し、P1(t)+P2(t)+P3(t)=1を満たすようでなければならないことに注意せよ。
もし、P1(t),P2(t),およびP3(t)に対するこの解を、いま３微分方程式のどれかの１つに代入する、たとえば、初めの式に代入すれば、定数間のつぎの関係式が得られる：
-8A1e^-8t -12A2e^-12t = -6A1e^-8t -6A2e^-12t +6B1e^-8t +6B2e^-12t +3(-A1-B1)e^-8t +3(-A2-B2)e^-12t
この関係式の具体的な導出過程をお教え下さい。
それゆえ、e^-8tとe^-12tとの係数を等しく置くと、つぎの２つの方程式が展開される：
-8A1=-6A1+6B1-3A1-3B1
-12A2=-6A2+6B2-3A2-3B2
そこで、B1=A1/3およびB2=-A2が得られる。
何故e^-8tとe^-12tとの係数を等しく置くと２つの方程式に出来るのか具体的な導出過程をお教え下さい。また、何故e^-8tとe^-12tとの係数を等しく置く事が良いのかお教え下さい。
他の２方程式に代入しなくて、１つの微分方程式に代入するだけで十分である。これは理論から示唆されていた。もちろん、その理由は、３定数がすでに定常状態値として決定されているということである。そして、これらの値は系を満たす。
そこで、この特殊なマルコフ過程の微分方程式の解は、
P1(t)=3/8+A1e^-8t +A2e^-12t
P2(t)=1/8+A1/3 e^-8t -A2e^-12t
P3(t)=1/2-4A1/3 e^-8t
である。
任意の定数の正しい個数がいま存在し、これらの定数は、初期条件P1(0)=1,P2(0)=0,P3(0)=0から、1=3/8 +A1+A2,および0=1/8 +A1/3 -A2を満たすように、決定されなければならない。これらより、A1=3/8およびA2=2/8が得られる。
A1=3/8、A2=2/8は式を計算して求める事は出来ますが、どの様な事を言っているのか解りません。お教え下さい。（この初期条件を代入するなりした？その導出過程を丁寧に示して下さい。）
微分方程式と境界条件を満たす最終解は
P1(t)=3/8+(3/8)e^-8t +(2/8)e^-12t
P2(t)=1/8+(1/8) e^-8t -(2/8)e^-12t
P3(t)=1/2-(1/2) e^-8t
である。そこで、ハツカネズミが、t=1/4において１にいる確率は
P1(1/4)=3/8+(3/8)e^-2 +(2/8)e^-3 =(1/8)3e^3+3e+2/e^3で約0.44である。
最後は単に数値を代入しているだけのようなので解ります。
補足
正確な定義を教えてくださって ありがとうございます。 できれば、もっと生活に密着した分かりやすい例を挙げていただけるとうれしいです。自分でもいろいろ考えてみます。