負の数について

質問

正×正＝正
負×負＝正
であるとすると、数直線における左右対称性が失われることについて
納得のいく説明のできる方、教えて下さい。
（上記の正と負を入れ替えると同じ式にならないのはいいのか？）

私の考えでは、あくまで量というものは0より少ない値はないと思います。
マイナスとはベクトルであり、量と方向の二つの性質を持ったものだと思います。
したがって、負×正の計算は、ベクトル×スカラーであり、これはいいと思うのですが、負×負＝という計算はベクトル同士の掛け算ということになり、それ自体が不可能だと思います。
ですが、負×負＝正の有効性は実社会では実のあるものとなっています。
このことは、どのように理解をすれば良いのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.3

dedenden · ベストアンサー

負の数の意味を現実社会の中でどのように解釈しているかを考えると
はっきりするのではないでしょうか？以下、我流の説明です。

例えば、a個のみかんからb個のみかんを除く操作を、通常は、「a-b」
と書きます。これに対し、同じ操作を「a+(-b)」とも書けると認める
ことにします。これにより、負の意味が定義できます。すなわち、
「あるものを取り除く量」を負の数と解釈してもよいと認めることに
します。

上記の解釈に基づき、次に掛け算を考えてみます。まず、以下の関
係式を考えます。

(a-b)*(c-d)=(a+(-b))*(c+(-d))
=a*c+a*(-d)+(-b)*c+(-b)*(-d)

ここで、a=2,b=c=1,d=0 とすると、1*1=2*1+2*(-0)+(-1)*1+(-1)*0
となります。いま、正×正＝正が正しいと仮定するとともに、-0=0,
0*x=0 などと仮定します、すると, 上式より、-1=(-1)*1 がでてき
ます。これで正×負＝負が示唆されます。

次に、a=c=2, b=d=1 とすると, 1*1=2*2+2*(-1)+(-1)*2+(-1)*(-1)
となります。ここで、正×負＝負が正しいとすると、1=(-1)*(-1)
がでてきます。これで、負×負＝正が示唆されます。

上記のように負の数を「あるものを取り除く量」をあらわすものと
解釈すると、自然に負×負＝正でないとつじつまが合わないことに
なります。

あとは、上記の規則を使ってつじつまの合う四則演算等が作れるかを
順に検証していくと、整数の体系ができてくるのではないでしょうか？

お礼

ご回答ありがとうございます。
上記の式についてですが、めんどうくさい奴だと言われてしまうかもしませんが、正×負＝負であると示唆する式の中に、既に正×負という掛け算が含まれてしまっております。この式において2*(-1)+(-1)*2は打ち消しあって0になると言い切れるでしょうか？
ここを単純にやり過ごしては、私の質問の意味がなくなってしまいます。
質問文に描いたとおり、正と負の数は性質が異なる数であり、数直線上において左右対称性が敗れています。
ですから、必ずしも正×負と負×正が同義であるとは言い切れないように思うのです。
詳しく説明します。
負の数＝「あるものを取り除く量」であるとするなら
正の数＝「あるものを足し合わせる量」ではないでしょうか？（ここがわからない曖昧な部分なのですが）
「みかん２個を足し合わせる量」×「みかん一個を取り除く量」というのは既に理解が難しい概念になっています。例えば、これを絵に描いて図で示すことができるでしょうか？
私の頭の中ではやっぱりベクトルの掛け算になってしまいます。つまり計算そのものが不可能。
「みかん１個を取り除く量」を２倍する→これなら理解できます。
でも、この計算における２は２倍の２ではなく、あくまで「みかんが２個あること」の２であったはず。
ベクトルとスカラーは区別して考えなければなりません。
このように、そもそも数学を適応する対象が本当に「負の数を使ってもいい対象なのか？」という疑問が残ります。
今の科学はこのような数学の土台の上に立っており、数学の予言するとおり実社会は動いているようです。それは否定しません。ですが、このような数学に世界が整合性を持っていること自体、とても驚くべきことではないでしょうか？

回答No.1

yaemon_2006

負がベクトルなら、正もベクトルで、
絶対値がスカラーじゃないですか？

お礼

高校数学で習ったとおりでいくと、そういうことだと思うのです。
ですが、教科書でも参考書でもはっきりとベクトルであると書いてあるわけではありません。
本来、数学というものは、扱う対象によって色々な使い方するものであって、負の数を使っていい対象かどうかということをまずそれぞれに考えなければならないはずです。
それが理論のみで発展していくのがちょうど高校数学でしょう。
不等式の問題などは、マイナスを掛けると符号が逆になるなど、考えるうえで便利な効用がありますし、それを否定するものではないのですが、はじめに立ち返って考えてみると、正もベクトルと考えると、やはり数直線は0を中心に対称でなければならないことになります。
もともと方向に絶対的な基準はないわけですから。
ですが、はじめの質問の通り正と負を入れ替えることはできません。これは矛盾していると思います。明らかに「負」は特別な存在です。
このことについて私はまだ納得がいきません。
すみません…