正四面体の平面による切り口について。

質問

正四面体の３辺上の点P,Q,Rを通る平面で正四面体を切断した時
残りの１辺と切断平面との交わる点Sはどのような点でしょうか？
作図したいのですが、うまくSの位置が特定できずに困っています。

↓のHPなどを参考にして説明していただけるとありがたいです。
http://homepage2.nifty.com/sintakenoko/Cabri/CSect2.html

よろしくお願いします。

回答No.1

debut · ベストアンサー

参考ＨＰの図で、上の頂点をＯ、下の左をＡ，手前をＢ、
右をＣ とします。

ＡＣ 上に点Ｄ、ＢＣ上に点Ｅを、Ｃ Ｒ＝Ｃ Ｄ＝Ｃ Ｅ
となるようにとります。つまり、Ｃ Ｒを１辺とする正四面体
をかきます。
△ＯＡＢと△ＲＤＥは平行な面なので、切り口の線は△ＲＤＥ
面の中にＱＰと平行になるように入るはずです。
ＱとＲは切り口としてつながっているから、結局△ＲＤＥ面
におけるＱＰに平行な線はＲを通るものになります。
その平行線を引いて、ＤＥとの交点をＴとすれば、ＰＴの延長
とＡＣ との交点が求める点Ｓになると思います。

お礼

御回答どうもありがとうございます。
なるほど、平行な平面を考えるのですね。
全然思いつかなかったです。
直観的で大変分かりやすいご説明、どうもありがとうございます。

回答No.3

age_momo

正四面体をO-ABCとしてOA,OB上にP,Q、CB上にRをとります。
OP:OA=p:1,OQ:OB=q:1,CX:BC=r:1としておくと
ベクトル↑OP=p↑OA,↑OQ=q↑OB,↑OR=(1-r)↑OC+r↑OB
問題の点をXとすると↑QXは↑QP,↑QRで表すことができますから
↑QX=t↑QP+s↑QR
としておくと

↑OX=↑OQ+↑QX=↑OQ+t↑QP+s↑QR
=↑OQ+t(↑OP-↑OQ)+s(↑OR-↑OQ)
=t↑OP+s↑OR+(1-t-s)↑OQ
=tp↑OA+s(1-r)↑OC+(q-qt-qs+sr)↑OB

一方、CX:CA=v:1とすると
↑OX=v↑OA+(1-v)↑OC
でもあるのでそれぞれの係数を比較すると

v=tp
1-v=sr
q-qt-qs+sr=0

ここからt,sを消去してvをp,q,rで表すと

v=pr(1-q)/(q-qr+pr-pq)

この長さ(正四面体の１辺との比)をCからとればよいと分かります。

お礼

大変ご丁寧な回答どうもありがとうございます。

立方体や直方体と違い、正四面体での切り口の点がこんなに複雑になるとは思いませんでした。

やはり平行でないと大変なのですね。
とても勉強になりました。
どうもありがとうございました。

回答No.2

debut

No1の回答では足りませんでした。
ＤＥを直線ＤＥで、ＰＴの延長を直線ＰＴとして
読んでください。