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段差を乗り越えるのに必要なトルクについて
標記の件について教えて下さい。 静止状態から段差を乗り越える場合、段差を乗り越えるのに必要なトルクは Ｔ≒ｍｇ（√２ｈＲ） Ｔ：段差を乗り越えるのに必要なトルク ｍ：全重量 ｇ：重力加速度 ｈ：段差の高さ Ｒ：車輪半径 で求めることが出来るとかいてあったのですが、この式の導き方が分かりません。 教えてください。 ・その他にこんな式がある ・衝撃を考慮するとこんな式になる 等もございましたら教えていただけると幸いです。 宜しくお願いします。
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まず、(4)を解いてください。(4)は、２階線形でしかも定数係数ですから、解くのは容易です。 つぎに、初期条件を使って積分定数決定してください。 最後に、t＞0でφ＞0という条件を使ってTを求めます。 ＞平行軸の定理は使う必要は無いのですか。 使ってますよ。 車輪の重心まわりの慣性モーメントはmR^2である。 よって、車輪の点Bまわりの慣性モーメントIは I=mR^2+mR^2=2mR^2
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力学の問題は、まず運動方程式を立てることから始めます。物が動いていたら運動方程式です。 極座標で書いた運動方程式に↑rを外積で掛け、dr/dt=0として得られる Id^2θ/dt^2=N ・・・(1) (Iは慣性モーメント、Nはトルク） という式を使います。（(1)も一種の運動方程式といえます。） 水平方向にx座標をとり、鉛直方向にy座標をとる。 段差のプロファイルをAOBCとする。各点の座標は A(∞,0), O(0,0), B(0,h), C(-∞,0) である。 車輪の中心を点Pとする。 x軸正方向と↑BPのなす角をθとすると(1)より Id^2θ/dt^2=-Rmgcosθ+T ・・・(2) (Iは点Bまわりの車輪の慣性モーメントでI=2mgR^2、-Rmgcosθは重力によるトルク、Ｔは外力によるトルクである） こうして微分方程式を得るが、これは非線形であり、解くのは容易ではない。 半直線OAと点Bに接するように車輪をおいたときのx軸正方向と↑BPのなす角をaとする。 θ=φ+a とすると(2)は (2mgR^2)d^2φ/dt^2=-Rmgcos(φ+a)+T ・・・(3) となる。 重力によるトルクは段差をのぼるにつれて小さくなる。 よって車輪を直線OAから離すとき（このときを時刻t=0とする）に最大のTが必要である。このTを求める。 0≦t<<1のとき cosφ≒1,sinφ≒φ より(3)は (2mgR^2)d^2φ/dt^2≒-Rmg(cosa-φsina)+T ・・・(4) と近似できる。 Ｔを定数とすれば(4)は線形なので、解けますね。 初期条件はt=0で φ=0 dφ/dt=0 です。 ＞なぜ太さのない円輪とするのですか？？？？ 太さを考慮すると、慣性モーメントが2mgR^2より小さくなります。また、慣性モーメントの計算が煩雑になり面倒です。
計算したところ、 1.車輪を太さのない円輪とする 2.段差の角と車輪が滑らない 3.h<<R という３つの仮定をおくと mg√(2Rh)<T が得られるようです。 ところでk-gisiさんは、理系の大学生ですか？ もしそうだったら、せめてどこまで考えたか書いてほしいですね。
お礼
早速の回答ありがとうございます。 私は段差の角を基準点としてモーメントを考えたり、位置エネルギーなどを考えたりしましたが導けませんでした。 uto-pia様 計算が出来たのなら、導き方を教えていただけないでしょうか。 よろしくお願いします。 p,s,1.車輪を太さのない円輪とする の仮定が良く分かりません。 なぜ太さのない円輪とするのですか？？？？
お礼
uto-pia様 連絡遅くなり申し訳ありません。 もうひとつ教えてください。 恥ずかしながら (2mgR^2)d^2φ/dt^2≒-Rmg(cosa-φsina)+T ・・・(4) から Ｔ≒ｍｇ（√２ｈＲ）の導き方がよく分かりません。あと、平行軸の定理は使う必要は無いのですか。 すみませんが教えてください。 宜しくお願いします。 あと、
補足
あと、は間違えてつけてしまいました。 すみません。