微分

質問

G(x,y)=sΦ([log(s/y)+(r+0.5σ^2)x]/σx^0.5)-[ye^(-rx)]Φ([log(s/y)+(r-0.5σ^2)x]/σx^0.5)
をyで偏微分したいのですが解けません。どなたかわかりますか？？

回答No.3

info22

#2です。

＞ Φ(s)={1/(√(2π))}∫[-∞,s] e^(-z^2/2)dz
この積分は、これ以上解析的には積分できません。あえて積分するとすれば、積分で定義される誤差関数erf(x),erfc(x)などで表現できるだけで積分が進んだわけではありません。

＞　Φ(s)=)={1/(√(2π))}　{[((s^3)*e^((-s^2)/(2)))/(4)]-[((-∞)^3)*e^(-∞)^2]}
＞ となるのですが
＞ ここから計算が進みません。
上記の理由で、解析的に積分できない関数ですので積分を幾らしても意味がありません。

微分は次のようになります。
Φ'(s)={1/(√(2π))}e^(-s^2/2)

＞ G(x,y)=sΦ([log(s/y)+(r+0.5σ^2)x]/[σx^0.5])
＞ -[ye^(-rx)]Φ([log(s/y)+(r-0.5σ^2)x]/[σx^0.5])
∂G(x,y)/∂y=sΦ'([log(s/y)+(r+0.5σ^2)x]/[σx^0.5])
*∂{[log(s/y)+(r+0.5σ^2)x]/[σx^0.5]}/∂y
-[e^(-rx)]Φ([log(s/y)+(r-0.5σ^2)x]/[σx^0.5])
-[ye^(-rx)]Φ'([log(s/y)+(r-0.5σ^2)x]/[σx^0.5])
*∂{[log(s/y)+(r-0.5σ^2)x]/[σx^0.5]}/∂y
=sΦ'([log(s/y)+(r+0.5σ^2)x]/[σx^0.5])
*(-1/y)/[σx^0.5]
-[ye^(-rx)]Φ'([log(s/y)+(r-0.5σ^2)x]/[σx^0.5])
*(-1/y)/[σx^0.5]
-[e^(-rx)]Φ([log(s/y)+(r-0.5σ^2)x]/[σx^0.5])
=-sΦ'([log(s/y)+(r+0.5σ^2)x]/[σx^0.5])/[σyx^0.5]
+[ye^(-rx)]Φ'([log(s/y)+(r-0.5σ^2)x]/[σx^0.5])/[σyx^0.5]
-[e^(-rx)]Φ([log(s/y)+(r-0.5σ^2)x]/[σx^0.5])
=[ye^(-rx)exp(-{log(s/y)+(r+0.5σ^2)x}^2/{2xσ^2})
-s*exp(-{log(s/y)+(r-0.5σ^2)x}^2/{2xσ^2})]/{σy(x^0.5)√(2π)}
-{e^(-rx)}Φ({log(s/y)+(r-0.5σ^2)x}/[σx^0.5])

となります。

お礼

とても参考になるコメントをありがとうございます。
自力で解けるように再度チャレンジしてみます。

回答No.2

info22

丸投げは禁止事項です。質問者さんの解答をやった所まで書いて下さい。

質問の式についての説明が不足しています。
Φ( )は関数ですか？
x,y以外の文字は定数なのか？
「/σx^0.5」の「/」以降は全部分母ですか？そうなら( )で括って書いてください。

補足

ご回答ありがとうございます。質問内容が粗末で申し訳ありません。
Φ()は関数で、Φ(s)={1/(√(2π))}∫e^(-z^2/2)dz　ただし、積分区間が
｛m,n｝であり、ｍ→-∞、n→sとなっている累積標準正規分布です。
ここでΦ(s)を計算すると
Φ(s)=)={1/(√(2π))}　{[((s^3)*e^((-s^2)/(2)))/(4)]-[((-∞)^3)*
e^(-∞)^2]}となるのですがここから計算が進みません。アドバイスお願いいたします。

また、G(x,y)=sΦ([log(s/y)+(r+0.5σ^2)x]/[σx^0.5])-[ye^(-rx)]Φ([log(s/y)+(r-0.5σ^2)x]/[σx^0.5])においてs,r,σは定数です。

回答No.1

noname#121811

右辺第一項のみやってみます。
Φ(z)の変微分をΦ'(z)とすると
Φ'[{log(s/y)+(r+0.5σ^2)x}/σx^0.5]*y/s*(-s/y^2)/σx^0.5

合成関数の微分公式を使います。
関数f(x),g(x)の微分をそれぞれf'(x),g'(x)とおくと
[f{g(x)}]'=f'{g(x)}*g'(x)

補足

ご回答ありがとうございます。
Φ(k)＝1/((2π)^0.5)＊∫e^(-z^2/2)dz ただし積分区間が{m,n}で
m→-∞　n→kです。