ベクトル空間 次元 について
前回質問（数ベクトル空間 ベクトル空間）させて頂いた内容です。
http://okwave.jp/qa/q8631000.html#answer
前回の質問内容を整理してわからなかった点を再度質問させて頂きます。
ベクトル空間の次元についてですが、以下のように理解しました。
Vはベクトル空間であるとします。
x,y,z∈Vについて、
(1)x,y,zのうち2つのベクトルが0なら1次元ベクトル空間
(2)x,y,zのうち1つのベクトルが0なら2次元ベクトル空間
(3)x,y,zがどれも0ベクトルでなければ3次元ベクトル空間
と理解しました。
R^2は2次元ベクトル空間
R^3は3次元ベクトル空間
R^nはn次元ベクトル空間
という説明がウェブ上で多々ありますが、
これは、ベクトル空間の「成分の数（項数）」であって次元とは関係
ないと理解しました。
ここまでで間違いありますでしょうか？
間違いがあればご指摘よろしくお願い致します。
*****以下、質問内容*****
x,y,z∈Vについて、
(1)x,y,zのうち2つのベクトルが0なら1次元ベクトル空間
(2)x,y,zのうち1つのベクトルが0なら2次元ベクトル空間
(3)x,y,zがどれも0ベクトルでなければ3次元ベクトル空間
ですが、
(1)、(2)、(3)はいずれもR^3の部分空間とのことなのですが、この点がよくわかりません・・・
私のイメージなのですが、
(1)⊂(2)⊂(3)のイメージがあるのですが、これは大きな間違いでしょうか？
3次元ベクトル空間の部分空間は2次元ベクトル空間と1次元ベクトル空間
と言ったイメージなのですが・・・
R^3の部分空間であるとは、「成分が3つのベクトル空間」の部分空間と言う事で、
次元とは無関係ですよね？
以上、ご回答よろしくお願い致します。
補足
位相空間としての次元です。例えば自乗可積分関数空間L^2[a,b]が 無限次元であることを示すにはどうしたらよいのでしょうか？