三次関数の証明なんですが…

質問

座標上の任意の4点を通る三次関数がただ一つであることの証明です。
これは高校数学の知識で何とかできるものなのでしょうか？？
具体的な数字にすると分かるのですが…汗

回答No.6

kumipapa

n次関数 y=f(x),y=g(x) が同一の４点を通る
→　異なる4つのx (x1,x2,x3,x4) で f(x)=g(x) が 成立する
→　f(x) - g(x) = 0 は異なる4つの解を持つ
→　因数定理により f(x) - g(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3)(x - x4)h(x)　で、h(x)は(n-4)次以下の多項式
f(x),g(x)が三次関数のとき、f(x)-g(x)も三次以下なので、h(x)=0 即ち、f(x)≡g(x)でなければならない。

お礼

回答ありがとうございます。

なるほど…ホントに因数定理だ（汗）
「n=3ではh(x)=0にはなりえない→よって～」ってことですね。

回答No.5

looker1986

背理法を使うと計算しなくてもできますよ。
任意の相異なる4点(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4) を通る３次関数が２つ存在すると仮定し、
それを f1(x), f2(x)とし、g(x) = f1(x) - f2(x) としてみましょう。

お礼

回答ありがとうございます。

上手く説明できたら、なんとかできそうです。
助かりましたー。

回答No.4

kabaokaba

タイプミスありました
Bについてるのは a1^2 のように二乗にしてください

>無理に書き並べるのではなくて因数定理を使って上手いこと示せ

んーー・・少なくとも定数項が0であると仮定してよいので
多少は簡単になりますが，計算は厄介です．

回答No.3

kabaokaba

おう，見間違いました(--;
三次関数ですね

4点を(a1,b1)，(a2,b2)，(a3,b3)，(a4,b4)とおき
y=Ax^3+Bx^2+Cx+D
に代入すれば
b1 = A a1^3 + B a1^3 + C a1 + D
b2 = A a2^3 + B a2^3 + C a2 + D
b3 = A a3^3 + B a3^3 + C a3 + D
b4 = A a4^3 + B a4^3 + C a4 + D
という連立方程式になります．
これを気合をいれて解くことになります．
実はこれは，a1,a2,a3,a4がみんな異なるという条件の下で解けます．
「任意の四点」ということですが，
x座標が等しいような点を選んでしまったら関数にはならないので
この「みんな異なる」という条件は仮定しても問題ないでしょう．

高校数学の範囲で解けるか？と問われれば，
相当な計算を綿密にできればという条件の下では
可能ですが，あまり現実的ではありません．
とんでもない式になります．
大学の範囲なら・・一年生くらいでやる
「n次の行列式」とか「n次の逆行列」というので
解けることの証明は容易ですが，書き下すのはやっぱり大変です．

＃ちなみに座標の回転やら移動を許可すれば
＃話は多少変わります

お礼

回答ありがとうございます。

やっぱり壮絶な式になりますか…汗
出題者は、無理に書き並べるのではなくて因数定理を使って上手いこと示せ、みたいな風に言っていたのですが…。
なんだかよく分からないので、ごりごり計算してみます。

回答No.2

pontiac_gp

何か勘違いされた回答がついていますが。

三次関数と三角関数は別に関係ありません。
普通に三次関数として証明すべきです。

任意の三次関数はa,b,c,dを定数として
y = ax^3 + bx^2 + cx + d (a≠0) とおけるので、
平面状の異なる4点を(x,y)に代入すると
a,b,c,dに関する4元連立一次方程式になりますね。
未知数4つ、式4つなので(a,b,c,d)は存在しても1組、
ってな感じの証明になるはずです。

まあ厳密にいうと(1,1)と(1,2)を通る三次関数は存在しないので
「存在したとすればただ一つ」ですけどね。

お礼

回答ありがとうございます。

ということは、この場合は、任意の４点は自分で勝手に数値設定して、その４点と対応するabcdが一組になる→それを一般化、という方向性で良いのですか？　

それとも任意の４点は任意のままにして（記号などで表して）、「未知数４つ、式４つ」自体を定義的に使用できるということでしょうか？　ただこうすると未知数はそれぞれ4点の二つずつのx,yとabcdで「12」になると思うのですが…。

回答No.1

kabaokaba

>座標上の任意の4点を通る三次関数がただ一つであることの証明です

三角関数は周期性があるのだから，
そもそも成り立ちません．
反例．
(0,0)，(2π,0)，(4π,0)，(6π,0)を通る三角関数は
y=Asin(x)，Aは任意

お礼

回答ありがとうございます。

ん、それは三次関数のなかに三角関数が含まれるという意味ですか？