0乗が１になる理由

質問

題名の通りなんですが、「何かの0乗は必ず1になる」と教わりました。その理由は、
２`3＝８
２`2＝４
２`1＝２
２`0＝１
上から指数が一つ下がるごとに半分にすればいいから０乗は１、と説明されました。
確かにそうなるんですけど、０回かけるということなのになぜ１になるのか不思議です。これをなにか納得のいく説明の出来る方がいらっしゃいましたら、ご説明お願いします。

回答No.13

gootaroh · ベストアンサー

>０回かける

こういう文学的な（？）考え方では理解できません。
「0回掛ける」のではなく、「ゼロ乗とは、分母分子が等しい状態」だと考えてください。

「約分」って覚えていますか？小学4年生で習いましたよね。
「10/20」は、「（1*10）/（2*10）」のことで、分母分子に等しく「10」があるので相殺すると、結局「1/2」と同じ、というアレです。

その上で、指数同士の割り算をしてみましょう。まず前提として、

2^1=2
2^2=4
2^3=8
2^4=16
2^5=32

これはいいですよね？

ここで「2^5」/「2^3」を計算してみましょう。

これは、「32/8」と同じですから、答えは「4」です。「4」ということは「2^2」と同じですよね。

冒頭の約分で考えると、「（2*2*2*2*2）/（2*2*2）」ですから、分母の3つの「2」と分子の3つの「2」を相殺すると、残るのは分子の2つの「2」だけですから、答えは「2*2」で「4」です。

いずれにせよ、「2^5」を「2^3」で割るというのは、「2^(5-3)」と同じなわけです。ここまではいいでしょうか？

では、次に「2^5」/「2^5」はどうですか？

具体的な計算以前に、そもそも分母分子が等しいので、答えは当然「1」ですよね。で、先ほどの例でいくと、「2^(5-5)」ですので、「2^0」ということです。

ということで、ゼロ乗とは分母分子が等しい状態、つまり答えは「1」なのです。

注意点としては、「0^0」ですね。これは「0/0」と同じことです。これだけは例外で、答えは「1」に限定できません（「1」ではない、ではなく「限定できない」という表現に注意）。

例えば、「6/3=2」の場合、分母の「3」を右辺に移項すると、「6=2*3」ですよね。つまり、「6にするためには、2に3を掛ければよい」ということです。

同様に、「0/0=A」の場合、分母の「0」を右辺に移項すると、「0=A*0」ですよね。つまり、「0にするためには、Aに0を掛ければよい」ということです。

「0」に何を掛けても答えは必ず「0」になりますので、この場合の「A」は何でもよいことになります。
もちろん「1」でもいいし、「0」でもいいです。「100」でも「マイナス1兆」でも何でもいいのです。
先ほど「1に限定できない」といったのは、こういう意味です。
逆に「1」や「0」に限定すると「間違い」ということです。
答えが一つに定まらないので、こういうことを「不定」といいます。

つまり、ゼロ乗は原則として「1」ですが、0のゼロ乗は0/0ですので、この場合だけ例外で「1」ではなく「不定」となります。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.6

info22

(3^5)/(3^2)=3^(5-2)=3^3=27
ですね。
では
(3^2)/(3^2)=3^(2-2)=3^0=？
これは幾つになるか？
(3^2)/(3^2)=9/9=1
ですから
3^0=1
としないとつじつまが合いませんね。
ということで
a≠0の時　a^0=1
と決められたのです（約束）。
そう決めないと
上の例のように
3^0≠1と決めると矛盾が発生して都合悪くなります。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.5

smile-y

2の4乗＝2の5乗÷2＝（2×2×2×2×2）÷2＝16ですよね。
したがって
2の3乗＝2の4乗÷2＝(2×2×2×2)÷2＝8
2の2乗＝2の3乗÷2＝(2×2×2)÷2＝4
2の1乗＝2の2乗÷2＝(2×2)÷2＝2
2の0乗＝2の1乗÷2＝2÷2＝1となります

つまり
＞上から指数が一つ下がるごとに半分にすればいいから０乗は１
というより
ａのｎ乗＝aのｎ＋１乗÷aとなると理解してください。
指数がひとつ下がるごとにaで割っていくのだから、aの0乗の直前のaの1乗（つまりa）をaで割るのですから必ず１になります。

この説明でよろしいでしょうか？（息子が中学生のときに通っていた塾のプリントに書いてました）

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.4

miracle3535

指数で小点のつく数例えば２の0.5乗はルートになりますね
また、マイナス乗は分数になりますね。
この関係で線を結ぶと０乗は１にしないと関係（バランス）が取れなくなるのです。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.3

tent-m8

指数が０の場合、１になるというのは、定義（約束事）です。

指数が負の数の場合も、同様です。

２を３個掛け合わせたものが、８
２を２個掛け合わせたものが、４
２が１個（掛け合わせることはできない）なら、２
２が０個なら、２ではなくなり、１（３などでも、同様）

というふうに考えるしかないでしょう。

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sisuu-taisuu/ruijyou/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sisuu-taisuu/ruijyou/zero-fu-no-sisuu.html

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

kaaaiii

とりあえずその「何か」をaと置きます。
a^(-1)は分かりますか？　分数で、1/aになります。
また、a^(b+c) = a^b × a^c　になりますよね。
よって、a^0 = a^(1-1) = a^1 × a^(-1) = a × (1/a) = 1
になります。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

Meowth

逆質問です
いくつなら納得できますか
０ですか
10ですか

補足

どういう意味でしょうか？