衝撃荷重の計算式

質問

物体が落下した時、床が受ける衝撃荷重の算出式が判りません.
物体の落下は、自然落下と強制的に速度を加えた場合の違いを含めてご教示願います.検討条件は、物体の荷重、落下距離、強制速度で良いのでしょうか？

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

●よく弾むボールのようなものの場合。
質量、高さ、初速の他に、最大どれだけ縮んだか、という値が必要です。

初速0で高さH[m]から物体を落下させ、床にぶつかって床と物体が合わせて最大d [m]へこんだとします。物体が床にぶつかってから離れるまで、床から受けた加速度が一定aであると仮定すると、
a = (H/d)ｇ
（ｇ～9.8[m/s^2]は重力加速度）
です。従って、床が受けた力は、物体の質量をm[kg]として
F = ma = m (H/d)ｇ [N]
です。またこの力が掛かっていた時間tは
t= (2√2)d/ √H [s]
ということになる。たとえば、1mの高さから鉛筆を落として、床のリノリウムに1mm刺さって跳ね返ったとすれば、鉛筆が受けた加速度は実に1000Ｇ。

高さhから初速v0 (下向きを正とする）で落とした場合は、
H = h+(v0^2)/(2ｇ)
として計算すれば良いです。ぶつかる瞬間の速度はv1=√(2ｇH) = √(2ｇh+v0^2) [m/s]。

●あんまり弾まないものの場合。
さらに反発係数Rが必要です。すなわちR=-（跳ね返った速度v2）/（ぶつかる直前の速度v1)が1よりだいぶ小さい場合には、ぶつかっているときに音や熱や振動としてエネルギーが失われている。しかし運動量は保存するので、力積は
F t = m (v1 - v2) = m v1 (1+k) = m (1+R) v1√(2ｇh+v0^2)
となる。こうなると、加速度aが一定と考えるのは無理。

反発力が変位に比例するとしてバネ定数kのばね、エネルギーのロスを速度に比例するものとしてダンパーcで近似して、衝突後s秒におけるへこみをy(s)とするとき、衝突中の運動方程式は
m y'' +cy' +ky = cv1
となる。(y(0)=0, y'(0)=v1,y''(0)=0。「'」は時間sに関する微分です。）
これを解くと、条件1>c^2/(4km)では減衰振動する。ばぁあぁ～んという感じ。このときは
Q = (√k/√m)√{1-c^2/(4km)}　として
y(s) = (cv1/Q/m) exp[-cs/(2m)] (sin Qs)
また条件1<c^2/(4km)では振動しないで、ぐべちゃ、となる。このときは
P = -iQ = (√k/√m)√{c^2/(4km)-1} として
y(s) = (cv1/P/m) exp[-cs/(2m)] (sinh Ps)　
　（ここにsinh x = (exp(x)-exp(-x))/2, cosh x = (exp(x)+exp(-x))/2です。）
なんだか凄いことになってきちゃった。

力F(s)は振動する場合
F(s) = m y'' = cv1{{c^2-(2Qm)^2}(sin Qs)-4Qcm(cos Qs)}exp[-cs/(2m)]/(4Q m^2)
振動しない場合
F(s) = m y'' = cv1{{c^2+(2Pm)^2}(sinh Ps)-4Pcm (cosh Ps)}exp[-cs/(2m)]/(4P m^2)
ということになります。

で、エーと、最大の縮みdおよび反発係数Rとc, kの関係がどうなるかというと....えーと。つづく。
（つづかないかも。)

お礼

ありがとうございました。
落下物が弾む場合と余り弾まないものとの両式を記載いただき、昔習ったようなものがおぼろげに、思い出しました。
ただ、反発係数における関係が、不明なので（実際の検討しようとする反発係数が不明）一寸行きづまった形となりましたが、衝撃力としては算出できました。
詳細なる計算式、どうもありがとうござました。