為替レートのパラドクスについて

質問

このパラドクスの間違いを教えてください。

一般的な為替レートがこれから上がるか下がるか
全くわからないと仮定する。
これから
「これから上がる確率＝これから下がる確率」
だと言える。
ではどれだけ上がる確率と
どれだけ下がる確率が一緒なのだろうか。
ある為替レート(仮にＡ／Ｂ)が100とすると
ここから1下がる確率と1上がる確率が一緒というのはおかしい。
なぜならこの計算でいうと
99下がる確率と99上がる確率が一緒ということになる。
これは明らかにおかしい。
なぜなら、これはイコール
為替レートＢ／Ａが1/100から
1/1になるのと1/199になる確率が一緒ということになる。
為替レートＡ／ＢもＢ／Ａも
同様に変動する性質を持つべきだから、
2倍になる確率＝1/2なる確率
となるべきである。
しかし、こう仮定すると、
ある時点の為替レートの期待値は
50% * 2倍 + 50% * 1/2 = 1.25となるので
どの時点で買っても期待値が出ることになります。

回答No.19

noname#76157 · ベストアンサー

No.8, No.15です。

> しかしながら、
> 比率に対して期待値を計算することができないのなら、
> 「比率の変動を期待値の計算式にあてはめることが
> パラドックスの原因である。」
> と結論づけるべきではないでしょうか？

結論はそうなります。

> (2^0.5)*((1/2)^0.5) = 1
> という式の右辺の１は一体何なのでしょうか？

1倍です。

> 仮に期待値であるなら、
> 期待値を計算することができないと言っておきながら、
> ご自分で期待値の計算式を示すというのは不合理ではないでしょうか？

何倍になるかを求めた計算式ですが、「期待値」ではありません。
質問内容から求めたいであろう値が読み取れたので、その計算式と結果を
示しました。

> また、上記の式はさておき、RHODIA11が
> 「比率の変動を期待値の計算式にあてはめることが
> パラドックスの原因である。」
> と結論づけるのであれば、
>
> 「比率の期待値は計算できないから」
> という理由ではなく
> もう少し直感的にわかりやすいように
> ご説明願えないでしょうか？

理由は比率が「事象が起こった場合の結果」ではないからです。
> 50% * 2倍 + 50% * 1/2 = 1.25
なかなか上手い説明が思い当たらないのですが、例えば1度目に2倍になり2度目に
1/2になった場合、合わせて何倍になるかを計算すると 2+(1/2) ではなく 2*(1/2)
となります。
上記の期待値計算では、「2倍」と「1/2」は本来「積」であるべき関係を「和」で
計算しているのが問題です。

また、2倍の場合の値を「2」と計算していますが、A:B=2:1の関係は240と120
かもしれないし、√2と1/√2かもしれません。Bが1であるという情報が計算式に
含まれていないため、「2」で計算する正当性がありません。
同じことが「1/2」にも言えます。

……と、わかりづらかったかもしれませんが、比率を期待値では計算できない感覚を
ご理解いただけましたでしょうか。

補足

回答ありがとうございます。

比率を期待値で計算できないという主張は納得できました。

これからの私の意見はひどくあいまいで、
意味のないものかもしれませんが、
よければ意見をくださいませんか。

比率は期待値で計算できない。・・(1)
すべてのものの価値は相対的にしか(比率でしか)表せない・・(2)
(1)と(2)からすべてのものの期待値は
期待値＝Σi(事象iがおこる確率＊事象iがおこったときの他のものとの相対的な価値)
で計算できないことになります。

すべての人間は期待値を最大化する行動をとります。
そしてその方法は、私は上述した計算式によるものだと思っていました。

しかし、少なくとも為替においてはこの計算式が適用できないことになります。

それでは、類まれな分析力を持つ効率的市場全体としては
いったいどのような期待値計算をもとに今の為替レートを決定しているのでしょうか？

回答No.3

darkking

「1円0.01ドル(1/100)が1円0.005ドル(1/200)になるのと
∞？(1/0)になる確率が一緒ということになるので
明らかにおかしいと思われます。」
「99下がる確率と99上がる確率が一緒ということになる。
これは明らかにおかしい。
なぜなら、これはイコール
為替レートＢ／Ａが1/100から
1/1になるのと1/199になる確率が一緒ということになる。」

ランダム・ウォークならば、
明らかにおかしいという理由がわかりません。

コインの表がでたら１円上昇、裏がでたら１円下がるという
ことを考えてみた場合、明らかに確率は同じです。
表が９９回でるのと、裏が９９回でる確率の違いはないはずです。

補足

丁寧な回答ありがとうございます。
私の考えがどこか必ず間違っていることを前提に申し上げますが、

為替レートが100から99になるのと101になるのが
同じ確率というのは明らかにおかしいと思います。
それでは
100が300になる確率＞０　‥(1)
100が-100になる確率＝０　‥(2)
となり、あきらかに(1)と(2)が矛盾します。

回答No.2

TOBIUKE

>一般的な為替レートがこれから上がるか下がるか
>全くわからないと仮定する。
>これから「これから上がる確率＝これから下がる確率」だと言える。

為替の話として.

この前提が違うと思います.
上がる確率・下がる確率がどれだけなのか全く判らない,が正確では.

『明日,自分が生きているかは判らない.
　→ゆえに,明日生きている確率＝明日死んでいる確率と言える』

これが不成立なのは御理解戴けると思います.
年齢,健康状態,就いている職種・・・等によって生存率は変わる筈.
為替も同じく諸要因で上下率は変動します(把握できないだけ).

------------------------------------------------------------
純粋に数学の話として.

変動域は0～無限大
変動はランダム.仮に,毎日(前日値に対し)変動幅±aで変動) ・・・*
現在100

とすれば,100/a日後以降の期待値は,0以下が無い分だけ確かに100より
大きくなりますね(為替には*の条件が当てはまらないだけ).

補足

回答ありがとうございます。
パラドックスである以上どこかに間違いがあるのですが、

>>一般的な為替レートがこれから上がるか下がるか
>>全くわからないと仮定する。
>>これから「これから上がる確率＝これから下がる確率」だと言える。

>為替の話として.

>この前提が違うと思います.
>上がる確率・下がる確率がどれだけなのか全く判らない,が正確では.

>『明日,自分が生きているかは判らない.
>　→ゆえに,明日生きている確率＝明日死んでいる確率と言える』

この例えはおかしいのではないでしょうか。
為替において
これから上がるか下がるか分からないということは
今の情報から
上がる可能性＜下がる可能性とも
上がる可能性＞下がる可能性とも言えないということで
上がる可能性＝下がる可能性ということになるのではないでしょうか。

TOBIUKEさんの例えである
>『明日,自分が生きているかは判らない.
>　→ゆえに,明日生きている確率＝明日死んでいる確率と言える』
では、その条件とは一致せず、
今の情報からある程度
明日自分が生きている確率＞死んでいる確率
となるという判断は着くと思います。
もちろん、明日死なないとは誰にも言えませんが、
健康で平和に過ごしているという情報から
『明日生きている確率＝明日死んでいる確率と言える』
とは決して言えないと思います。

回答No.1

darkking

為替がランダム・ウォークするという前提から考えると、
上がる確率と下がる確率が同じである。
このとき、１上がるのと、１下がるのが同じ確率であるとする。

「2倍になる確率＝1/2になる確率
となるべきである。
しかし、こう仮定すると、
ある時点の為替レートの期待値は
50% * 2倍 + 50% * 1/2 = 1.25となるので
どの時点で買っても期待値が出ることになります。」

このようにはならない
為替レートを１００円とすれば、

１００円から２倍になるには１００円動く必要がある。
つまり、１００回上がる。
一方、１/２になるには５０円動けばよい。
つまり、５０回下がる。

１００回の変動の確率と５０回の変動の確率は一致しない。

「2倍になる確率＝1/2になる確率」
という仮定が誤りである。
１５０円になる確率と５０円になる確率が等しいといえる。

よって
１５０円×５０％＋５０×５０％＝１００円
為替の期待値は１００円

補足

すみません。
質問内容が分かりにくかったです。補足ありがとうございました。

darkkingさんの結論ですと
ドル円レートで100円が200円になる確率と0円になる確率が一緒ということになり
これを円ドルレートで見れば
1円0.01ドル(1/100)が1円0.005ドル(1/200)になるのと
∞？(1/0)になる確率が一緒ということになるので
明らかにおかしいと思われます。
そこでこの辻褄を合せるには、
すなわち、
円ドルレートでも
ドル円レートでも同じように変動するようにするには
2倍になる確率と1/2になる確率が同じとならないとおかしいように思えます。

どうも上手く説明が出来なくて申し訳ありません。
間違っている部分のご指摘をお願いします。