質問者様の学年が分かりませんので、学年によっては難解な理論を使うことになってしまいますが、一気とはいかないまでも、比較的簡単に答えが出る方法はあります。これは以前、フジテレビ系列で放送された「たけしのコマネチ大学数学科」と言う番組の中で紹介された解法をほぼそのまま使ったものです。知識レベルとしては、高校で習う「情報」と言う科目を履修したことを想定しています。
基本的に人間が使う数は、1桁当たり0～9までの数を組み合わせて使います。これを10進数と言います。仮に1桁当たり 0～12までの数を使った数、言わば 13進数を考えてみます。一応 0～12を一桁で表すため、0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c の12種類の記号(数)を使うことにします。2でも3でも13でも割り切れない整数は、13進数で考えると、この13種類のうち 1,4,5,7,b の5種類であることが分かります。13進数で考えれば、下1桁以外の数は、どんな数でも良く、2でも3でも13でも割り切れないかどうかは、下1桁の値だけで決まります。一方10進数の3桁の整数は、100～999 までです。これを13進数で表現すると、
79～5bb
となります。下1桁が半端な範囲の数は、後で数えるとして、このうち下1桁の切りが良い 80～5b0 に含まれる、2でも3でも13でも割り切れない整数は、下1桁が、1,4,5,7,b の5種類の場合です。この個数を求める際に 13進数として計算すると、
((5b0 - 80)÷10) × 5 = 53×5 + 1 = 202
※蛇足ですが、10進数ではありませんから、÷10) × 5 をまとめて、÷2 とするのは間違いですから、ご注意を。
これを10進数で表現すると、340 となります。
次に、79～7b までに含まれる、2でも3でも13でも割り切れない整数は、一番下の1桁が、b の 1つです。
次に、5b1～5bb までに含まれる、2でも3でも13でも割り切れない整数は、一番下の1桁が、1,4,5,7,b の 5つです。
これらを全部足せば、340 + 1 + 5 = 346
すなわち、3桁の整数の中で2でも3でも13でも割り切れない整数は 346個と言う答えを得ます。
※ 10進数以外の数を人間が扱うと、すぐに 10進数と間違えて混乱しますし、10進数と13進数の間の変換は、手計算で行うのはかえって手間が掛かってしまいますね。電卓を使わないと面倒ですね。柔軟な思考能力を持つ人向きの解法です。
※ なお、この理屈を使うと、ある値aから、十分な大きな値bの間に存在する、2でも3でも13でも割り切れない整数である確率は 5/13 ですから、(b + 1 - a)*5/13、a=100, b=999 で (999 + 1 - 100)*5/13 = 346.15... と、大体近い値が出ますが、これはあくまで目安に過ぎません。
お礼
ありがとうございます。 他に一気に答えが出てしまう解法なんてありませんよね？