漸化式についてですが、これでいいのか見ていただけますか。

質問

漸化式についてですが、これでいいのか見ていただけますか。

Ｐ（０）＝１
Ｐ（１）＝１－Ｐ

Ｐ（n+2）=(1-p)Ｐ（n+1）+pＰ（n）

を変形して、
甲：Ｐ（ｎ＋２）＋pＰ（ｎ＋１）=Ｐ（n+1）+pＰ（n）、Ｐ（１）＋pＰ（０）＝１
乙：Ｐ（ｎ＋２）-Ｐ（ｎ＋１）=-p(Ｐ（n+1）-Ｐ（n）)、Ｐ（１）-Ｐ（０）＝－p

甲より、Ｐ（n+1）+pＰ（n）=1
乙より、Ｐ（n+1）-Ｐ（n）＝（-p）^(n+1)

Ｐ（ｎ）＝{1-（-p）^(n+1)}/（p+1）

であっていますか？
論理的におかしい部分はありますか？
Ｐ（ｎ）が０から始まるので心配です

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

この間の質問に関連したところでしょうか？＾＾
答えは合っています。
もう少し「うまく」そして「しっかり」と解答するのであれば、次のような解法もあります。

漸化式を変形させたとき「乙」だけを考えることにします。
これは階差数列{ P(n+1)- P(n) }に対する漸化式になっています。
ですので、P(n)の一般項は
P(n)＝ P(0)+ Σ[k＝0～ n-1] (-p)^(k+1)　（n≧ 1）

このときのΣについてですが、kが 0～ n-1まで変化したとき、k+1は 1～ nまで変化します。
ということで、書きかえると
＝ P(0)+ Σ[k＝1～ n] (-p)^k　(n≧ 1)

となります。kと違う文字で置き換えても構いませんね。
あとは等比数列の和を計算して、最後に n＝ 0のときも満たされているかを確認します。

特性方程式の解に 1が含まれているときは、階差数列として求めることができるということです。＾＾

お礼

わかりました、ありがとう。

こないだの問題とはまた違うものです

回答No.2

f272

P(n)=(1-(-p)^(n+1))/(1+p)
と書いた方が美しいと思う。

お礼

ああ、美しさの問題ですね

ありがとう

回答No.1

noname#114871

特に問題ない。あってる。

お礼

ありがとう。どうもありがとう