x^5＋ｙ^5で・・・

質問

事前に、ｘ＋ｙ＝８　ｘｙ＝１　、（ｘ－ｙ）^２＝６０
となっている計算で
x^5＋ｙ^5　を計算せよ。というものがありました。
x^３＋ｙ^３は４８８になって正解しました。
でも、 x^5＋ｙ^5はちょっと工程がちがって、答えが３０２４８
になるらしいのですが、 x^３＋ｙ^３のようにx^5＋ｙ^5をやっても全くつじつまがあいません。
どうしてそんなに大きな数になるのですか、教えてください。

回答No.5

kkkk2222 · ベストアンサー

＞＞どうしてそんなに大きな数・・・。
　其の前に計算。
(x^(n+2))+(y^(n+2))=(x+y)[(x^(n+1))+(y^(n+1))]-xy[(x^n)+(y^n)]
　Ｆ（ｎ＋２）＝(x+y)＊Ｆ（ｎ＋１）－xy＊Ｆ（ｎ）
此の問題では、ｘ＋ｙ＝８、　ｘｙ＝１　なので、
　Ｆ（ｎ＋２）＝８＊Ｆ（ｎ＋１）－Ｆ（ｎ）

F(0)＝(x^0)+(y^0)=2
F(1)＝(x^1)+(y^1)=8
F(2)＝(x^2)+(y^2)=8*8-2=62
F(3)＝(x^3)+(y^3)=8*62-8=488
F(4)＝(x^4)+(y^4)=8*488-62=3842
F(5)＝(x^5)+(y^5)=8*3842-488=３０２４８
Ｆ（６）＝２３８１４２
Ｆ（７）＝１８７４８８８

＞＞・・・。
ｘ＋ｙ＝８、ｘｙ＝１を解くと、（ｘ＞ｙ　として）、
ｘ＝４＋√１５≒7.87298334620742
ｙ＝４－√１５≒0.12701665379258

(x^n)+(y^n) は、(x^n)　に近似されてしまうからと思います。

(x^0)＝1
(x^1)≒(7.8・・・2)^1≒　　　　　　7.87298334620742
(x^2)≒(7.8・・・2)^2≒　　　　　61.9838667696594
(x^3)≒(7.8・・・2)^3≒　　　　487.997950811068
(x^4)≒(7.8・・・2)^3≒　　　3841.99973971888
(x^5)≒(7.8・・・2)＾5≒　　30247.99996694
(x^6)≒(7.8・・・2)＾6≒　238141.999995801
(x^7)≒(7.8・・・2)＾7≒1874887.99999947

回答No.4

noname#56760

x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=64-2=62

(x^3+y^3)(x^2+y^2)=x^5+y^5+x^3y^2+x^2y^3
=x^5+y^5+(xy)^2(x+y)
これより
x^5+y^5＝(x^3+y^3)(x^2+y^2)-(xy)^2(x+y)
=488×62-1×8=30256-8=30248
となります。

回答No.3

noname#32999

すみません、下のNo.1の回答について訂正です。
２行目の最後の文字は、y^4ではなくy^5でした。

回答No.2

LPLBIF

(x+y)(x^3+y^3)=x^4+y^4+xy(x^2+y^2)
を利用して、x^4+y^4の値を求めることができます。
同様にして、
(x+y)(x^4+y^4)=x^5+y^5+xy(x^3+y^3)
を利用して、x^5+y^5の値を求めることが出来ます。

計算さえ正確にすれば間違いなく解ける問題なので、
注意して頑張ってください。

回答No.1

noname#32999

(x + y)^5
=x^5 + 5x^4 y + 10x^3 y^2 + 10x^2 y^3 + 5xy^4 + y^4
=x^5 + y^5 + 5xy(x^3 + y^3) + 10(xy)^2 (x + y)　
となりますよね。これは普通の展開です。
ここで、(x + y)^5 = 8^5 = 32768 、またxy=1、x + y=8 ,
x^3 + y^3 = 488なので、それぞれの式に代入すると、
32768 = x^5 + y^5 + 5×1×488 + 10×(1^2)×8
これを解くと、x^5 + y^5 = 30248 となります。