確率の問題です。

質問

確率の問題です。

(1)
子供が３人います。部屋が３つあります。
子供の区別はしません。部屋の区別もしません。
３人の子供に好きな部屋に入ってもらうとき、起こりうる事象は、
　事象Ａ：それぞれの部屋に１人ずつ入る
　事象Ｂ：１つの部屋に２人、１つの部屋に１人が入る（空き部屋は１つ）
　事象Ｃ：３人全員が１つの部屋入る（空き部屋は２つ）
この３つです。
簡略表記をすると、
　事象Ａ：１・１・１
　事象Ｂ：２・１・０
　事象Ｃ：３・０・０
となります。
それぞれの事象が起こる確率を求めなさい。
（Ａ：Ｂ：Ｃ＝？：？：？　の割合で起こる、と答えてもＯＫです。）
（たぶんＡ：Ｂ：Ｃ＝２：６：１だと思うのですが……）

(2)
先の(1)では３人の子供＋３人の部屋で考えたが、
今度は４人の子供＋４人の部屋で考える。以下簡略表記で事象を表すと、
事象Ｄ：１・１・１・１・１（それぞれの部屋に１人ずつ入る）
事象Ｅ：２・１・１・１・０
事象Ｆ：３・１・１・０・０
事象Ｇ：２・２・０・０・０
事象Ｈ：４・０・０・０・０（全員が同じ部屋に入る）
それぞれの事象が起こる確率を求めなさい。

(3)
１０人の子供と１０の部屋がある場合はどうなるか。

(4)
１００人の子供と１００の部屋がある場合はどうなるか。

……(3)と(4)は律儀に計算することはありませんが、最終目標としては、
人数と部屋の数が同じだけ増えたときにも通用するような、
共通する考え方や方針を導き出したいと思います。
確率に関してはセンター試験レベルの知識はあります。
が、当時は確率は大の苦手で、さらに受験から３年以上が経過しているので、
情けないことに、まったく自信がないというのが正直なところです……。
お時間がありましたら、回答もしくは参考になるページを紹介して下さい。
よろしくお願い致します。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

5人5部屋のケースまで計算して見ました。（間違っていたら訂正してください。）
　子どもと部屋を分けてケース数を数えていますので、確率は、あとで全ケースで割って求めることにします。

(1)　3人3部屋（全ケースは3^3＝27通り。)
　　1-1-1：　3!　＝3
　　2-1-0：　3!・3C2　＝18
　　3-0-0：　3!/2!　＝3

(2)　4人4部屋（全ケースは4^4＝256通り。）
　　1-1-1-1：　4!　＝24
　　2-1-1-0：　4!/2!・4C2・2C1　＝144
　　2-2-0-0：　4!/(2!2!)・4C2　＝36
　　3-1-0-0：　4!/2!・4C3　＝48
　　4-0-0-0：　4!/3!　＝4

(3)　5人5部屋（全ケースは5^5＝3125通り。）
　　1-1-1-1-1：　5!　＝120
　　2-1-1-1-0：　5!/3!・5C2・3C2・2C1　＝1200
　　2-2-1-0-0：　5!/(2!2!)・5C2・3C2　＝900
　　3-1-1-0-0：　5!/(2!2!)・5C3・2C1　＝600
　　3-2-0-0-0：　5!/3!・5C3　＝200
　　4-1-0-0-0：　5!/3!・5C4　＝100
　　5-0-0-0-0：　5!/4!　＝5

　ここから、ｎ人ｎ部屋の場合を推測しますと、次の2つのものが掛けられていると思われます。

(a)　部屋分けのパターン
　　多項係数：n!/(r1!・r2!・ ・・・ ・ri!)　（ただし、r1+r2+・・・+ri=n）

　ただし、r1, r2, ..., riは、部屋分けしたときに同じ人数になっている部屋の数。（同じ人数の部屋が他にない場合は1!とする。）

(b)　入る子どものパターン
　　nCp1・(n-p1)Cp2・(n-p1-p2)Cp3・ ・・・ ・(n-p1-p2-・・・-p(n-1))Cpn
　＝n!/(p1!・p2!・ ・・・ ・pn!)

　ただし、p1, p2, ..., pnは、各部屋の子どもの人数。

　したがって、全ケースはもちろんn^nですので、確率を求めるときは、

　　(n!)^2/{(r1!・r2!・ ・・・ ・ri!)×(p1!・p2!・ ・・・ ・pn!)×n^n}

で求められるのではないかと思います。

お礼

お礼が遅くなり、申し訳ありません。
回答を頂いてから、今まで、数学Ａの復習を最初からしていました……。

大変分かりやすい回答、ありがとうございます！感動です。
nとかkとかいう「一般化」が苦手な自分でしたが、５人５部屋までの
計算結果があったからか、比較的うまく納得できました。
まだまだ勉強が足りていないと認識できたのも、大きな収穫でした（＾＾；
本当にありがとうございました。

回答No.3

Mr_Holland

＃１です。
　文字の設定の仕方がうまくなかったので、次のように修正させてください。

　　（ｎ人ｎ部屋の場合の確率）
　＝(n!)^2/{(r0!・r1!・ ・・・ ・rn!)×(p1!・p2!・ ・・・ ・pn!)×n^n}

　　ただし、rj：子どもの人数がｊ人の部屋の数。(0≦j≦n)
　　　　　　pk：ｋ番目の部屋の子どもの人数。(1≦k≦n)

お礼

なるほど。了解・納得しました。
最後まで丁寧に回答して下さり、ありがとうございました。＾＾

回答No.2

vigo24

こんにちは。

一般的にk人、k部屋のときで考えました。

まず一人目がk個あるどれかの部屋に入る場合の数は　k通り
2人目もｋ通り
同様にk人目まですべてk通りなので
ｋ人がk部屋に入るすべての場合の数はｋ^k通り・・・(1)

次に部屋をそれぞれA1、A2、・・・・、Akと区別し、
それぞれの部屋に入る人数をa1、a2、・・・、ak人とする。
まず、a1人の選び方は[k]C[a1]通り
a1人を選んだ後にa2人を選ぶ場合の数は[k-a1]C[a2]通り
同様にして順々にak人まで選ぶ場合の数は
[k]C[a1]×[k-a1]C[a2]×[k-a1-a2]C[a3]
×[k-a1-a2-・・・－a(k-1)]C[k1]・・・(2)

「(2)/(1)」が答えだと思います。

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。
丁寧な回答、ありがとうございました！
(2)はNo.1さんの回答と合わせて理解することができました。
多くの方から回答を頂けると、それだけ自信になります。
（おそらく、部屋を区別するなら、(2)にNo.1様が指摘する「部屋分けの
パターン」の数値をかけなければならないと思いますが……。）
この程度の知識は教養として持ち、いつか自分も多くのジャンルの質問に
答えられたらいいと思います。頑張ります。
ありがとうございました。