この漸化式は解けない?

質問

三角関数の加法定理を利用して、COS(K+2)θ=2COSθCOS(K+1)θ-COSKθ(Kは自然数)という漸化式を作りました。
ここからCOSKθ=…の形にしようとしてもうまくいきません。
COSKθ=ＡKとおくと
Ａ(K+2)=2COSθＡ(K+1)-ＡK
Ａ(K+2)-αＡ(K+1)=β(Ａ(K+1)-αＡK)と表せるとすると
-(α+β)=2COSθ、αβ=1　つまりα、βはX^2-2COSθX+1=0の2つの解の和と積である。よってα=COSθ-√(COSθ^2-1)、β=COSθ+√(COSθ^2-1)
次にＡ(K+1)-αＡK=ＣKとおくと
Ｃ(K+1)=βＣK
ＣK=Ｃ1・β^(K-1)　Ｃ1=Ａ2-αＡ1
Ａ(K+1)-αＡK=Ｃ1・β^(K-1)
ここまで来て詰まりました。
この漸化式の解き方が不明です。
ＡK-(αー1)(Ａ(K-1)+Ａ(K-2)+Ａ(K-3)+…+A2)=Ｃ1・(β^(K-1)-1)/(β-1)まで変形しても解けないので困っています。
誰かいい方法があったら教えてくださいm(__)m

回答No.6

noname#101087 · ベストアンサー

たびたびお邪魔さま。

#5 の T(x) は下記ページの中の加法公式そのもので、何を今さら、です。無視してください。

--------------------------------------
[再掲]
>http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/inequality/tschebyscheff.htm
>チェビシェフ多項式

　cos(nθ) = Σ<nC2k>*(cosθ)^(n-2k)*{(cosθ)^2-1}^k
　　ただし、Σは k=0 から k=[n/2] にわたる

補足

n倍角の公式を作ろうとしたら、チェビシェフ多項式が出てきて、今まで知らなかったものを勉強できてよかったと思います。
回答ありがとうございました。

回答No.5

noname#101087

#4 です。
チェビシェフ多項式 T(x) を見直して、早合点してたことに気付きましたので、ブリーフィングを少々。

[再掲]
チェビシェフ多項式 T(x) は、
　z^2=x^2/(x^2-1)
として、
　A(z)={(1+z)/(1-z)}^(N/2)
の偶/奇部に当たります。

アルゴリズムは簡単化のため二項定理抜きで A(z) を算出して偶/奇部をとっていますが、二項定理を使えば式を書き下せるのです。
基本の考え方だけ要約してみましょう。

(1) (1+z)^N を展開して、偶/奇部をとる。
(2) z^2=x^2/(x^2-1) を代入する。たとえば偶数(2m)次なら、
　　x^(2m) + C2*{x^(2m-2)}*(x^2-1) + ..... + C0*(x^2-1)^(2m)

けっこう複雑ですけど、吟味してみてください。

回答No.4

noname#101087

>この漸化式を見つけてから半年くらいたつのでもうそろそろけりをつけたいです。...

同感ですが、すんなりいきますか ?

#1 の[蛇足]は漸化式と等価ですけど、重み付け関数があるときも同じアルゴリズムを使えるので愛用してます。
N 倍角の tan に相当する式ゆえ、sin や cos には奇/偶部を求めるステップの介在を要します。

そんなものと思ってました。
余分なステップを無くせる手があれば、ぜひ知りたいです。

回答No.3

Mr_Holland

Ａ(K+1)-αＡK=Ｃ1・β^(K-1)　の漸化式が解ければよいのですね。
　K+1→Kと落としていく過程でαずつ掛けていって、足し合わせればよいと思います。
　難しく考えすぎておられるのかも。

　　　　　 　　Ａ(K)　－α・　Ａ(K-1)＝Ｃ1・β^(K-2)
　　　α・　　　Ａ(K-1)－α^2・Ａ(K-2)＝Ｃ1・β^(K-1)・α
　　　α^2・　　Ａ(K-2)－α^2・Ａ(K-3)＝Ｃ1・β^(K-2)・α^2
　　　　　　　　・・・・　　　　　　＝　　・・・・
　＋）α^(K-2)・Ａ(2)－α^(K-1)・Ａ(1)＝Ｃ1・β^0・α^(K-2)
　－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　　　　　　　Ａ(K) －α^(K-1)・Ａ(1)＝Ｃ1・[i=0→k-2]Σα^(K-2)・(β/α)^i
　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝Ｃ1・(α^(K-1)-β^(K-1))/(α-β)

お礼

あとからこの解きかたに気がつきました。
回答ありがとうございました。

回答No.2

noname#101087

>単純にn倍角の公式を作ろうとしてこの漸化式を作ったので.....

でしたら、このページのほうが参考になるかも。
　http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/inequality/tschebyscheff.htm

補足

確かにk=20まではありましたね。
この漸化式を見つけてから半年くらいたつのでもうそろそろけりをつけたいです。

回答No.1

noname#101087

チェビシェフ多項式ですか?
[参考ページ]
　http://ufcpp.net/study/digital_filter/chebyshev.html

[蛇足]
チェビシェフ多項式 T(X) は、
　z^2=x^2/(x^2-1)
として、
　A(Z)={(1+Z)/(1-Z)}^(N/2)
の偶/奇部に当たります。

補足

参考ページを見るとCOSθ=xならチェビシェフ多項式になりますね。
ただ単純にn倍角の公式を作ろうとしてこの漸化式を作ったのでチェビシェフ多項式のことは知りませんでした。
Ａ(K+1)-αＡK=Ｃ1・β^(K-1)はKを一つずつ減らしながらαを掛けていって、最後に全部足したら解けるんでしょうか?