漸化式の解法

質問

次のようなとびとびの値を表す 漸化式（？）はどのように解いたら良いでしょうか？

a1 = 0
a2n = 2・an + n ( n = 1,2,4,8, … , 2^x )

回答No.1

Kules · ベストアンサー

n=1,2,4,8,…,2^x
なので、この数列には結局X+1個しか項がないことになります。
そこで、m=0,1,2,3,…,xとすればn=2^mですから、漸化式をmで表すことを考えます。
2n=2*2^m=2^(m+1)なので
与式⇔a(m+1)=2am+2^m
となり、両辺2^(m+1)で割ってbm=am/2^mとおけば
上式⇔b(m+1)=bm +1(m=0,1,2,…x)となり、少し見にくいですが等差型の漸化式になっていることがわかります。
n=1の時m=0なのでb0=0,公差は１より
bm=m-1
am/2^m=bm=m-1⇔am=2^m(m-1)
最後にn=2^mになおして(m=log n(底は２))
an=n(logn-1)
となります。
回りくどいですがこんなんでどうでしょう？

お礼

回答ありがとうございました。
目からうろこです。

ただ、数列と一般式とが合わないので、最初の式の立て方を間違えたか、計算を間違えたか・・・現在確認中です。
以後は自力でできそうなので、質問自体は閉じさせていただきます。

どうもありがとうございました。