漸化式

質問

cを0でない定数とする。数列{an}をa1=3,an+1=3an-c(n=1,2,3,…)によって定める。d=c/2とすると、an+1-d=3(an-d)　(n=1,2,3,…)が成り立つ。8Σk=1(ak)をcを使って表せ。

なぜd=c/2とするのでしょうか？説明できる方がいらっしゃったら教えてください。
また、cを使って表すには、an+1-d=3(an-d)の式にd=c/2を代入して解けばいいんですか？計算の仕方についても教えていただきたいです。
お願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

>なぜd=c/2とするのでしょうか？
an+1-p=q(an-p)
という式の形に変形する為です。この式の形は等比級数の数列を求めるのに頻繁に使われますので、漸化式をこの形の式に変形するため、定数p,qの求め方をマスターしておいて下さい。この手法は参考書ならどこにも乗っている定石ですね。
今の場合q=3,p=c/2ですね。pの代わりにdという文字定数を使っただけです。

＞cを使って表すには、an+1-d=3(an-d)の式にd=c/2を代入して解けばいいんですか？
そんなことをしたら、折角変形した式が台無しです。
an+1-d=3(an-d)
なる式の意味を理解しないといけません。
bn=(an-d)についての等比数列だということがピーンとこないといけません。
anの一般項を求めた後、級数和を求めてから
その式の中のdにc/2を代入をして下さい。
(a_(n+1))-d=3{(a_n) -d}=…=(3^n){(a_1)-d}
=(3^n)(3-d)
a_(n+1)={3^(n+1)}+d(1-3^n)}
a_n=(3^n)+d{1-3^(n-1)}=(3^n)+(c/2){1-3^(n-1)}
=(c/2)+3^n{1-(c/6)}…(*)

>8Σk=1(ak)
Σ[k=1,∞] a_k のことですか？
(*)の式でn=kとおいて代入するだけです。

しかし、(*)のタイプの式ではΣが発散してしまいますね。

問題の「a_(n+1)=3(a_n)-c」の式が適切ではありませんね。
a_(n+1)=(1/3)(a_n)-c
または
3a_(n+1)=(a_n)-c
なら良いですが…。

お礼

回答ありがとうございました。