密閉容器内の空気の温度上昇による容器の体積変化

質問

今　密閉されたSPCC材（軟鋼）　ｔ＝２．３　内径１００ｍｍ　内側長さ１００ｍｍの円筒容器があります。この容器は外径方向（円周方向）の体積変位は変化しないように外周を厚いコンクリートで固定されています。長さ方向には膨張可能とします。容器の蓋と底は形状変化はしない(膨らまない）とします。
今容器内の空気の温度が２０度C、１気圧として、この温度を１５０度C まで加熱していった場合容器の内側長さはどのくらい伸びるでしょうか。（当初の容器の熱さも２０度Cとします。）
伸びには容器自体の加熱膨張を考慮します。加熱した空気膨張によって容器内圧は何kg/mm^2に上がるでしょうか。容器の破損及び爆発は生じないものとします。勿論安全弁は設置していない条件になります。
外部への伝熱損失はないものとします。
公式と解を求める手立てをご教授ください。
当方は学生ではありません。一般の社会人です。

回答No.2

inara · ベストアンサー

catshoes01さんは社会人なので、学校の問題というわけではありませんね。
以下に計算方法を書きましたが、質問に対する回答は以下のようになります。
・容器の内側長さはどのくらい伸びるでしょうか　→　側面の長さは 0.13 mm ～ 0.26 mm延びます。上下のフタ（円板）の中央は 15.9μm膨らみます
・容器内圧は何kg/mm^2に上がるでしょうか　→　0.0149 kgf/mm^2 となります

【熱膨張率の影響】
SPCCの熱膨張率 α はWebで調べてみましたが分かりませんでした。一般的なSUS材料と同程度なら、10～20 (ppm/℃) 程度だと思います。温度変化がΔT [℃] のときの円筒の長さ方向の伸びΔL は ΔL = L0*α*ΔT ですので、L0 （20℃での円筒の高さ） が 10 [cm] 、α= 10^(-5)～ 2×10^(-5) [/℃]、ΔT = 130 ℃のとき、ΔL = 0.13 mm ～ 0.26 mm となりますので、円筒容器の伸びは全く考えなくても良いと思います（伸びは1/1000程度）。

【容器内の圧力上昇】
とすれば、容器の膨張による体積変化はとりあえず無視して、ボイル・シャルルの法則を使って容器内の圧力を求めれば良いと思います。つまり空気の温度が T0 [K]　のときの圧力を p0、T1 [K]　のときの圧力を p1とすれば、p0/T0 = p1/T1 ですから、 p1/p0 = T1/T0 となります。T0 = 273.15 + 20 = 293.15 [K]、T1 = 273.15 + 150 = 423.15 [K] ですから、p1/p0 = T1/T0 = 1.443 となって、150℃での圧力は20℃のときの圧力の1.443倍になります（大した圧力ではないです）。圧力差 p1 - p0 を Pa 単位の圧力に換算すれば、p1 - p0 = 1.01325×10^5×( 1.443 - 1 ) = 4.489×10^4 [Pa] となります。kg/mm^2単位に変換すれば、1 Pa = 1.01972×10^(-7) kgf/mm^2 ですので[3]、容器内圧は、1.01972×10^(-7)× 1.443×1.01325×10^5 = 0.0149 kgf/mm^2 となります。

【容器の膨張】
円筒容器の側面は外周（側面）は厚いコンクリートで固定されていますので、膨張するとすれば容器の上下面（円板）です。質問では「容器の蓋と底は形状変化はしない(膨らまない）とします」とありますが、形状変化がどれくらいあるか計算してみます。圧力は均等に加わるので、上で計算した圧力差が円形板にも均等に加わります。この場合、材料力学の「平板の曲げ」の中の、「周囲を固定されている円板に等荷重が加わったときの変位と最大応力を求める」という問題になります。catshoes01さんが示されたσ＝E*λ という式は棒の端面に荷重をかけたときのような１次元（軸荷重）でのものですので、横から荷重を受けるこの場合には当てはまりません。周囲を固定されている半径 a [m] 、厚さ t [m] の円板に、等荷重 p [N/m^2] が加わったときの最大変位 w [m] と最大応力 σ [N] は次式で表されます [1]。

w = p*a^4/( 64*D ) --- (1)
σ= ( 3*a^2*p )/( 4 *t^2 ) --- (2)
D = E*t^3/{ 12*(1-ν^2) }

Eは円板のヤング率 [Pa]、νは円板のポアソン比で、Ｄは曲げ剛性と言います。p は上で計算した圧力差そのものです。円板が最も膨張するのは円の中心で、円板に最も大きな応力が加わるのは円周です。

資料 [1] によれば、SPCCのヤング率は 203 [GPa] = 2.03×10^11 [Pa]、ポアソン比は0.28～0.3 [2] ですので間をとって 0.29 とします。また、catshoes01さんの情報から、a = 50×10^(-3) [m]、t = 2.3×10^(-3) [m] なので、式(1)から、
最大変位（たわみ） = 1.95×10^(-5) [m] = 19.5 [μm] となって全くの微小変位であることが分かります。念のために、最大応力を式(2)で計算してみると、1.59×10^7 [Pa] = 15.9 [MPa] となります。SPCCの降伏応力は、資料 [1] によれば 233 MPa ですので、SPCCが永久変形することはありません。【容器内の圧力上昇】で、容器の膨張による体積変化はとりあえず無視しましたが、容器の上下板が15,9μmしか変位しないので、この仮定は全く問題ないといえます。

[1]　SPCCの降伏応力・ヤング率（PDFファイル２ページ・表１）　http://www2.iri.pref.niigata.jp/IriRep.nsf/0/88fcd5ff2094c61b49256f77000dfed7/$FILE/_v227c044ne0884kggg5u110qo221nc443h88874oggd7h10rf221m44439o_.pdf
[2]　SPCCのポアソン比　http://www.naoe.t.u-tokyo.ac.jp/member/tecnet/qa/qa-188.html
[3]　単位変換サイト　http://www5a.biglobe.ne.jp/~uchimura/uconv/menu-j.st.html

補足

Ano2 さん、ありがとうございました。詳細な計算に感謝します。
SPCC材は機械構造用圧延鋼材の１種でプレス材料に利用されます。
材料的性格はSS400材に近いです。SUS材に置換えても別段不都合は
ありません。この質問の本当の目的は内圧力容器（形状は凸凹の
多い形状）で圧力による変形の様子をFEMで調査するために内圧を
求める必要があるためでした。
ところで、ご説明の計算式ではボイルシャルルの式を利用されて
いますが、文献によると、内圧が高温影響下で高圧になり、
ボイルシャルルの適用はできない、という記述を見かけたのです。
参考URL
http://www.keirinkan.com/kori/kori_physics/kori_physics_2/contents/ph-2/3-bu/3-1-2.htm
この記述では壁面に作用する圧力はボイルシャルルの法則による
圧力よりも低いとあるので安全をみればボイルシャルルの法則で
十分かもしれません。

http://www.keirinkan.com/kori/kori_physics/kori_physics_2/contents/ph-2/3-bu/3-1-2.htm
常温、通常の圧力（私たちが生活する範囲：例題の環境）では
ボイルシャルルの法則で十分のようですね。

もう一つの課題
ご提示の計算式で納得しました。
但し実際の変形量は１０μレベルを要求されています。同時に
温度変化は繰り返すので容器は膨張と収縮を限りなく繰り返す
環境にあります。この面で工学的なSN曲線を考慮しなくても
大丈夫でしょうね。

尚、実際の容器材料はマルテンサイト系ステンレス鋼になります。
SPCCを掲げたのは一般には鉄鋼で計算したほうが判りやすいかと
判断しただけです。

回答No.1

N64

あなたが、どこまで調べたり考えたりして、どこがわからないのか、具体的に明示なさらないと、課題の丸投げ、ということで、マナー違反となり、それにお答えることも、マナー違反となり、削除対象となります。
膨張可能な容器ということですが、ばねなどで外部から膨張に逆らう力を加えていないのなら、容器内の圧力が、大気圧と等しくなるまで、膨張すると考えられます。ばねで抑えているのなら、ばねの力＋大気圧と釣り合う圧力になるまで、膨張すると考えられます。

補足

Ano1さん、アドバイスありがとうございます。
この課題のポイントは幾つかあります。
１）シャルルの法則が提要可能なのかどうか。
　　密封容器内の温度が１５０度まで１３０度もの
　　温度差を考えると空気の分子運動の激しさが予想
　　されます。
　　シャルルの法則
　　T=ｃ＋273
ｃ：摂氏温度
　　T:摂氏温度時（１５０度）の絶対温度換算（150+273)
　　V=((T/T0)*V0)
V0:摂氏温度２０度時の空気体積
　　V :摂氏150度のときの空気体積
　　T0:（２７３＋２０）度

上記式を利用可能かどうか。

２）容器自体の長さ方向の歪の計算方法が難しい。
　　縦弾性係数：E
　　直角方向応力:σ
　　歪み：λ
　　σ＝E*λ　の公式を適用すれば応力σが決まる。
　　しかし歪みの計算式が難しい。
　　空気の温度差による膨張量がそのまま容器の容積増加量
　　になると考えてよいのかどうか。
　　容器材料SPCCは普通の鉄板とみてください。板厚は２．３ｍｍ。

以上のような問題点があります。