マルコフモデル

質問

以下のマルコフモデルの議論について、間違っているようでしたら訂正・解説のほど宜しくお願いいたしたく、質問致した次第です。
分かる方居りましたら、ご解答のほど宜しくお願いいたします。

問題～～～～～～～～～～～～～～～～～～

A,B,Cの３人がピストルを使って決闘し、弾が命中したものは
その地点で決闘から外れる。ここで、A,B,Cの命中率はそれぞれ
A:０．５　　　B:０．４　　　C:０．３　
である。また、打つ順番は
A→B→C→A→B→C→A→B→C・・・
である。３人とも自分が生き残る確立が最大になるように行動するとき生存確率が最も大きいのはA,B,Cのうち誰であるか？

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

解答
生存確率が最大となる＝生き残っているものの中で命中率が自分以外で最も高いものが狙われる。
よって、m 回目に生き残っている確立の分布を a(m) とすると、
a(0)=(1,1,1)
a(1)=(1,1/2,1)
a(2)=(3/5,1/2,1)
a(3)=(3/5*7/10,1/2,1)
a(4)=(3/5*7/10,(1/2)^2,1)
a(5)=((3/5)^2*7/10,(1/2)^2,1)
a(6)=((3/5)^2*(7/10)^2,(1/2)^2,1)
a(7)=((3/5)^2*(7/10)^2,(1/2)^3,1)
a(8)=((3/5)^3*(7/10)^2,(1/2)^3,1)
・・・
よって、
　　 　 ((3/5)^(m/3)*(7/10)^(m/3),(1/2)^(m/3),1)　(m=3k k≧0)
a(m)= ((3/5)^((m+1)/3)*(7/10)^((m-2)/3),(1/2)^((m+1)/3),1)　(m=3k-1 k≧1)
　　　 　 ((3/5)^((m-1)/3)*(7/10)^((m-1)/3),(1/2)^((m+2)/3),1)　(m=3k-2 k≧1)
これより、最も生存確率が高いものは　C　である。

考え方自体が間違えているかもしれないので、訂正などお願いいたします。

回答No.2

solla · ベストアンサー

#1です。

ごめんなさい、訂正です。よく考えてみると、ある時点での状態によって次の時点での状態への推移確率が決まるのですから、マルコフモデルのような気がしてきました。ただ「状態」の設定が違っていたのだと思います。私も最終的な答えを出せたわけではありませんが、以下のように考えてみるのはいかがでしょうか？

時点iでの状態Siは、

Si=(Ai,Bi,Ci,Xi)
　Ai,Bi,Ci=0,1：時点kにおいてA,B,Cがそれぞれ生存=1，死亡=0
　Xi=A,B,C：次に誰が撃つか

のように表せると思います。するとSiとしては3*2^3=24通りの状態が考えられますが、ある時点で死亡している人が次に撃つ事はありえませんから、そうした状態（ex.(1,0,1,B)）と全員死亡した状態を除くと可能なのは次の12通りの状態になります。

(1,1,1,A)
(1,1,1,B)
(1,1,1,C)
(1,1,0,A)
(1,1,0,B)
(1,0,1,A)
(1,0,1,C)
(0,1,1,B)
(0,1,1,C)
(1,0,0,A)
(0,1,0,B)
(0,0,1,C)

そして、この12通りの状態間の遷移確率行列Pij（12×12）が決定できますので、この遷移確率行列から定常分布を求めれば、おそらく下3つの状態に収束すると考えられます。その結果誰が一番生存確率が高いのかが判るのではないでしょうか。

すみません、ここから先を実際に計算してみる時間的余裕が今はないので、ここまでですが、多少でも参考になれば幸いです。

お礼

2度目のご回答、ありがとうございます。
本で確認したところ、やはりこの問題は「マルコフ連鎖」についての問題のようです。僕も良く分かっていませんでした・・・

＞時点iでの状態Siは・・・

なるほど、確かに遷移確率行列ですか。
すると、遷移確率行列は
0　 　0.5　0.5
0.4　　0 　0.4
0.3 　0.3　 0
となり、それぞれの生存確率は(A,B,C)=(7/21,6/21,8/21)。。。
たしかに、遷移確率行列ではなく、地道に求めた結果
(A,B,C)=(0.341,0.201,0.458)とも近いと思います。（地道に求めた方法は補足に載せさせていただきました、間違ってますでしょうか・・・？）
非常に参考になりました、ご回答ありがとうございました！

補足

地道に求める方法（命：命中　外：ハズレ　・：かつ）

Ａが生き残る場合
１：Ａ→Ｂ命・Ｃ→Ａ外・Ａ→Ｃ命
２：Ａ→Ｂ命・Ｃ→Ａ外・Ａ→Ｃ外・Ｃ→Ａ外・Ａ→Ｃ命
・・・（ＡとＣの攻防が、Ｃがやられるまで繰り返す）
３：Ａ→Ｂ外・Ｂ→Ａ外・Ｃ→Ａ外・１に戻る
・・・（Ａ、Ｂ、Ｃが外しあい、Ｂがやられるまで繰り返す⇔Ｂがやられたら１～２の試行にもどる）
よって、
１～２では
1/2*7/10*1/2+1/2*7/10*1/2*7/10*1/2+・・・
=7/40*(1+(7/20)+(7/20)^2+・・・)
=7/26

３では
7/26*(1/2*3/5*7/10+1/2*3/5*7/10*1/2*3/5*7/10+・・・)
=7/26*(21/100+(21/100)^2+・・・)
=147/2054
以上から、Ａが生き残る確率は
7/26+147/2054=350/1027

Ｂが生き残る場合、Ｂが生き残る確率をαとすると、
１：Ａ→Ｂ外・Ｂ→Ａ命・Ｃ→Ｂ外・Ｂ→Ｃ命
２：Ａ→Ｂ外・Ｂ→Ａ命・Ｃ→Ｂ外・Ｂ→Ｃ外・Ｃ→Ｂ外・Ｂ→Ｃ命
・・・（ＢとＣの攻防が、Ｃがやられるまで繰り返す）
３：Ａ→Ｂ外・Ｂ→Ａ外・Ｃ→Ａ命・（ＢとＣの攻防に戻る）
４：Ａ→Ｂ外・Ｂ→Ａ外・Ｃ→Ａ外・確率α
よって、１～２では
1/2*2/5*7/10*2/5+1/2*2/5*7/10*3/5*7/10*2/5+・・・
=1/2*2/5*7/10*2/5*(1+3/5*7/10+(3/5*7/10*3/5*7/10)+・・・)
=7/125(1+(21/50)+(21/50)^2+・・・)
=14/145

３では
1/2*3/5*3/10*(2/5+3/5*7/10*2/5+・・・)
=9/250*(1+(21/50)+(21/50)^2+・・・)
=9/145

４では、Ｂが生き残る確率αを用いて
1/2*3/5*7/10*α
これより、
α=14/145+9/145+21/100α
α=460/2291

以上から、各生存確率は
Ａ：0.341　Ｂ：0.201　Ｃ：0.458
ダメでしょうか・・・＞＜

回答No.3

kts2371148

私はマルコフモデルのことはよくわからないのですが、
まず３人ではなく２人の場合を考えてみるといいのではないかと思います。
２人の場合、撃つ相手は１人しかいませんので、生存確率は容易に求められます。
そして３人の場合は、２人の場合の結果を利用するとだれを狙えばよいかがわかります。
撃つ相手が決まれば、それぞれの場合の生存確率を求めることはそれほど難しくないと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
なるほど、場合に分けると言う事ですね、確率を考える上での基本ですね。
そうすると、確かに
Ａ：Ｂを優先的に狙う
Ｂ：Ａを優先的に狙う
Ｃ：Ａを優先的に狙う(あるいはワザとはずす)
になりますね、参考になりました、ありがとうございました。

回答No.1

solla

この場合、ある時点の遷移確率が前の時点の状態に依存するのでマルコフモデルでは表せないと思います。

例えば、1回目でAがBを撃った結果により、次にAがBに撃たれるのかCに撃たれるのかが変わりますから、2回目でAが撃たれて死ぬ確率が変わります。

お礼

あ、なる程、その通りですね、マルコフモデルは。
すると、解答は n回目に生き残る確率をA,B,Cそれぞれ
a(n),b(n),c(n)
として漸化式を作るようにするのでしょうか？？？
もう一度考え直してみます、、、
ご解答ありがとうございました。
また、解答が分かり次第締め切りますので、明日締め切りになっていないようでしたら、何かヒントをいただけると幸いです。
宜しくお願いします。