複素共役

質問

A=a+bi,B=a-biとしたとき
A^m+B^mが整数になりますよね？
このときの整数の値は公式化出来ないでしょうか？

回答No.4

nzw · ベストアンサー

A^m = Xa0*a^m*b^0 + Xa1*a^(m-1)*b^1 +...+ Xaj*a^(m-j)*b^j +...+Xam*a^0*b^m

B^m = Xb0*a^m*b^0 + Xb1*a^(m-1)*b^1 +...+ Xbj*a^(m-j)*b^j +...+Xbm*a^0*b^m

とおきます。
　さて、jが奇数の時、XajおよびXbjは虚数となりますが、A^m+B^mが実数であることから、この項は和をとると０になることがわかります。
　次にjを４で割った時のあまりが２のとなるjの場合ですが、このときXaj=-Xbjとなるため、Xaj+Xbj=0です。したがって、こちらの項も和をとると０になります。
　したがって、和をとった時に残るのは、jが４で割り切れる数の場合のみです。この時、Xaj=Xbjが成立していますので、Xaj+Xbj=2Xajです。あとは展開公式でXajを与えれば一応公式化は完了かと思います。

お礼

すみません。お礼が遅れましたがありがとうございます

回答No.3

noname#47975

３項間漸化式を利用すればできると思います。

まず、A^m + B^mの値をCmとおきます。
C_1 = a , C_2 = 2(a^2 - b^2)
また、A + B= 2a、AB = a^2 + b^2となります。

ここで、
(A^m + B^m)(A + B) = A^m+1 + B^m+1 + AB(A^m-1 + B^m-1)
より、

2aC_m = C_m+1 + (a^2+b^2)Cm-1が得られます。

後は、この3項間漸化式を解けば良いと思います。

回答No.2

noname#101087

>aもbも整数....

[参考ページ]
　http://sci-tech.ksc.kwansei.ac.jp/~yamane/n_baikaku.pdf
>三角関数のn 倍角の公式

「チェビシェフの多項式」を使えばできそうです。
お試しください。

回答No.1

noname#101087

>A=a+bi,B=a-biとしたとき A^m+B^m が整数になりますよね？
>このときの整数の値は....?

「整数」とは限りません。「実数」ですね。
ド・モアブルの公式
　(cosθ+i*sinθ)^m = cos(mθ)+i*sin(mθ)
を使えば「実数」 A^m+B^m の値を求めること、できます。

その計算式を導いてみてください。

お礼

回答ありがとうございました。
aもbも整数という前提を忘れてました。このときは整数ですよね？
A=r(cosθ+i*sinθ)と置け
ド・モアブルの公式を使うと
2*(r^2)*cos(mθ)となり実数であることはわかります。

a=3
b=1
m=5の時の値は？
と言われた時の解を公式化出来ないでしょうか？
という質問です。