インピーダンスの計算式

質問

文系出身で電子回路の勉強をしておりますが初歩的な問題に四苦八苦しております。
交流回路の問題で

交流電源（１００V、６０Hz）
　↑↓
コイル(100mH)
　↑↓
抵抗(15Ω)
　↑↓
交流電源　　(実際の設問は回路図で描かれています)

この回路のインピーダンスを求めよ、という問題があり回答が４０．６Ωとなっていました。
基本的なことがわかっていません、
１） インピーダンスはどの部分にかかってくるのか？回路上はどこをとっても同じなのか？
２） 回答の４０．６Ωの求め方がわかりません。インピーダンスを求める計算式をお教えください。
３） インピーダンスが抵抗（のようなもの）とするとなぜ直列の足し算ではダメなのか？

よろしくお願いします。

回答No.5

soramist · ベストアンサー

すみません。
ANo.4の文章の最後のところを、下記のように訂正させてください。

・・・次々に解いて行く。
→
・・・次々に解いて行き、（どんなに多くの素子で構成される回路でも）最終的には、LとRまたはCとRの２素子で構成されるインピーダンス:R±jX　で表現することができる。

お礼

何度も回答いただき恐縮です。まだわかってていない部分も数多くありますがおかげで少しずつですが理解できてきました。

回答No.6

noname#47050

＃３です。補足します。
これまで使ってきた整数、分数、無理数（平方根付きの数）は、まとめて実数と呼ばれます。さらに新たに虚数単位ｊを導入し虚数ｊｘ（ｘは実数）を定義します。ｊは２乗するとマイナス１になる数です。これにより実数部と虚数部から成る複素数が定義されます。実数だけでは解けなかった２次方程式も解けるようになります。

実在しない複素数を使ってインピーダンスもへったくれもあるのかと思うかも知れませんが、時間関数をフーリエ変換して周波数の関数として計算を行っているのです。コンデンサやインダクタを用いた計算はまともにやると微分積分の計算になり非常に複雑です。しかしフーリエ変換すると積分はjωの掛け算、微分はjωの割り算と簡単になります。

詳細は電気回路学の参考書を読んで下さい。

お礼

回答ありがとうございます。複素数に関し勉強しなおします。

回答No.4

soramist

すみません。説明不足でした。
そのことに迄、触れようかと思ったのですが、あまり言い過ぎると混乱すると思って控えました。

ご質問のR,L回路に、Cが直列に加わった回路を考えて見ましょう。
CはLと逆の性質を持っているので、Y軸（虚軸）上を下向きに下がっていきます。

もし、Cが70.5μFであれば、LとCのリアクタンスは相殺されるので、インピーダンスは、抵抗X軸（実軸）上の15Ωのみとなります。
この状態が「共振（直列共振）」です。
　Lのリアクタンス：XL=2πfL=6.28x60x0.1=30.7Ω
　Cのリアクタンス：Xc=1/(2πfC)=1/(6.28x60x70.5x10^-6)=30.7Ω

更に、電気回路では、「並列回路は直列回路に、直列回路は並列回路に置き換える」ことが出来ますので、
L,C,Rがいくつ入ってこようが、最終的に「インピーダンスは、すべてXY平面状の第１象限（L性）と第４象限(C性)上にプロットすることが可能」です。

蛇足ですが、このY軸のプラス側無限大を実軸Xの無限大までグルーッと引っ張ってきて結びつけ、Y軸のマイナス無限大をグルーッと引っ張ってきてX軸無限大に結びつけて出来た円が「スミスチャート」だとされています。
したがって、どんなインピ－ダンスもすべてスミスチャート上にプロットすることが出来ます。

インピーダンスにはいろんな表現がありますが、R±jXで表現するのもその一つです。
これを図形で表現すると上記のようになります。
（L性リアクタンスはY軸上向き、C性リアクタンスはY軸下向き）

[参考]
　インピーダンス(Z)：R±jX（単位はΩ）
　レジスタンス(R)：実抵抗
　リアクタンス(X)：誘導性(+)と容量性(-)の２種類がある。

　アドミッタンス(Y)：インピーダンスの逆数（単位:S(ジーメンス））
　コンダクタンス(G)：Rの逆数
　サセプタンス(B)：Xの逆数

直列回路を考えるときは、インピーダンスを用いると単純な足し算ができるので便利。
並列回路を考えるときは、アドミッタンスを用いると単純な足し算ができるので便利。
直列、並列の回路が混在するときは、インピーダンス、アドミッタンスを使い分けながら、次々に解いて行く。

回答No.3

noname#47050

複素数を覚えてますか？
コイルのインピーダンスは以下の式で表されます。
ZL=jωL
・j:虚数単位
・ω=2πｆ　πは円周率、f:周波数
・Lインダクタンス
これを承知で考えるなら直列の足し算が出来ます。
総合抵抗=R+jωL
LやCを含む計算では、このように複素数で表されます。
総合抵抗の「大きさ」ですが、複素数の大きさは「絶対値」と呼ばれます。
絶対値＝√{R^2+(ωL)^2}=40.6Ω

お礼

回答ありがとうございます。

補足

すみません、複素数という言葉は覚えていますが内容はほとんど覚えていません、Wiki等で調べましたがなんだかよく理解できません。
虚数については二乗してマイナスになるような実際には存在しない数、だったようなことはうっすら覚えています。おっしゃる「虚数単位」というのが何なのかご説明いただければありがたいのですが。

回答No.2

soramist

１）この場合、L（インダクタ）とR（抵抗）が、電源に対して直列に入っていますから”電源に対してかかっている”と解釈するのが妥当でしょう。
インピーダンスは「交流抵抗」です。
「回路上のどこをとっても」という考え方はあり得ないと思います。

LとRが直列になっていれば、その外側から見た２端子間、LとCが並列になっていれば、その並列になっている２端子間、にあると考えるのが妥当でしょう。

２）L単体のインピーダンス：XL
　　 XL=2πfL=6.28x60Hzx0.1H=37.68オーム
　　直列インピーダンス：Z
　　　Z=√XL^2+R^2=√15^2＋37.68^2=40.6オーム

３）位相が違うからです。
　横軸X、縦軸Yで表される平面を考えて見てください。
　原点(0,0)から真上に37.68オーム上がったところが、Lによるインピーダンスです。
　原点から右に15オームだけ行ったところが、抵抗によるインピーダンスです。
　上記の40.6オームはこのベクトルになります。

お礼

いつもありがとうございます。
数式にはからきし弱いのですが計算式は求めることができました。

補足

おかげさまでかなり理解できてきましたので追加回答いただければ嬉しいです。

（３）について
x軸とｙ軸の間のベクトル（ピタゴラスの定理）は理解できました。
今回は素子がコイルと抵抗だけだったのですが通常の回路はもっと素子の要因が増えますよね？
三つなら三次元ベクトルで何とかなる（私には頭こんがらがりますが）でしょうがそれ以上だとどのように求めるのでしょうか？

回答No.1

debukuro

どのような参考書をお使いでしょうか
「物理小事典」「化学小事典」程度は手元に置かれるようにお薦めします
三省堂物理小事典の19ページを見れば判ります

お礼

回答ありがとうございます。