23人の誕生日

質問

西尾維新さんの「クビキリサイクル」という小説の中で書かれていたのですが、『23人揃えば50%でその内2人が同じ誕生日』になるそうです。
私はどうもパラドックスっぽいなと思ってたんですが、作中では指摘されていなかったので気になりました。

これは本当なのでしょうか？

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

１年を３６５日とすると、２３人の誕生日のパターンは、
３６５×・・・×３６５通りあります。（２３個の積）
このうち、全員の誕生日が異なるパターンは、
３６５×３６４×３６３×・・・×３４３通りです。
（一人目は３６５通り、二人目は前の一人の誕生日を除いた３６４通
り、三人目は前の二人の誕生日を除いた３６３通り、・・・）

ということで、２３人全員の誕生日が異なる確率は、
３６５×３６４×３６３×・・・×３４３
を、
３６５×・・・×３６５
で割って、これを計算すると、49.27…％になります。

よって、２３人中に同じ誕生日の人の組が存在する確率は、
100％－49.27…％＝50.…％で大体50％です。

２人が同じ誕生日になるという表現ではすこし曖昧かも。

お礼

計算の仕方まで詳しくありがとうございます。
とても分かりやすかったです。

回答No.4

tatsumi01

No. 1 のものですが、(2) のケースでなぜ５０％になるかについて。面倒なので閏年は無視することにしますが、結果はほとんど同じでしょう。

クラスが２人のとき、全員の誕生日が「異なる」確率は３６４／３６５です。
クラスが３人のとき、全員の誕生日が「異なる」確率は３６４／３６５×３６３／３６５です。
クラスが４人のとき、全員の誕生日が「異なる」確率は３６４／３６５×３６３／３６５×３６２／３６５です。
クラスが５人のとき、全員の誕生日が「異なる」確率は３６４／３６５×３６３／３６５×３６２／３６５×３６１／３６５です。

以下同様に、全員の誕生日が「異なる」確率はクラスの人数が増えるとどんどん減って行きます。

クラスが２３人のとき、全員の誕生日が「異なる」確率は３６４／３６５×３６３／３６５×３６２／３６５×・・・×３４２／３６５です。これを計算すると約５０％になります。

クラスの人数が２３人を超えると確率はもっと低くなります。クラスが５０人になると全員の誕生日が「異なる」確率は３％にまで低下します。

（クラスの２人の誕生日が同じ確率）＝１００％－（クラス全員の誕生日が異なる確率）ですから、もしクラスが５０人なら、同じ誕生日の二人がいる確率は実に９７％です。

お礼

No.2、No.3の方同様、詳しい計算の仕方までありがとうございます。「異なる確率」から求めるのですね。とてもわかりやすかったです。

回答No.3

sanori

簡単のため、うるう年はないことにしてみましょう。

１人目の誕生日と２人目の誕生日が一致しない確率は、
３６４／３６５

上記の上、さらに、３人目の誕生日が１人目・２人目のいずれにも一致しない確率は、
３６３／３６５

さらに、４人目の誕生日が１～３人目のいずれにも一致しない確率は、
３６２／３６５

・・・

さらに、２３人目の誕生日が１～２２人目のいずれにも一致しない確率は、
３４３／３６５

つまり、
２３人の誕生日が互いに一致しない確率は、
364x363x362x361x・・・x344x343 / 365^22
（364!/342!/365^22 とか 365!/342!/365^23 とも書ける）

２３人の誕生日のうち、どれかが一致している確率は、１から上記を差し引いたものなので、
１ － 364x363x362x361x・・・x344x343 / 365^22

計算してみると、約５０％になるはずです。

お礼

No.2の方同様、詳しい計算の仕方まで教えてくださってありがとうございます。
やはりパラドックスではないのですね。

回答No.1

tatsumi01

本当です。

「おかしい」と思うのは次の二つを混同するからです。
(1) クラスの一人Ａ君と同じ誕生日を持つ子がクラスの中にいる。
(2) クラスの二人、Ａ君とＢ君の誕生日が同じである。

クラスが２３人とすると、(1) の確率は約１／１６＝６％で、極めて低いのです。
しかし、(2) の確率はほぼ５０％になります。

お礼

なるほど、確かにその辺を混同していたかもしれません。
迅速な回答ありがとうございました。