SPAのこのQuestionについて

質問

雑誌SPAのこのQuestionの答がどうも納得できません。

SPA 3/6号 p40の投資適正＆心理テスト Q13
「あるタレントに隠し子が２人いることが発覚！
１人は女の子。もう１人は男女どちらの確立か？」
A.男　
B.女　
C.確立は半々

答えはもちろん「C」と思いきや、なんと「A」だというのです。
その理由は「すでに２人いる子供の男女の組み合わせ」は１.女・女　２.女・男　３.男・女　４.男・男
となりすでに１人は女なので可能性があるのは
１.女・女　２.女・男　３.男・女　の組み合わせになる。つまりもう１人が男である確立が３分の２だから、正解はA。
ということなのです。

これ、どう考えてもおかしくないですか？
何がどうあっても男女の確立は半分ではないでしょうか？

最後にこうありました。
「Cを選んだ人は“思い込みの危険”を自覚しましょう」（林氏）
林氏、納得できません。

回答No.14

puni2 · ベストアンサー

>　最後にひとつ。この問題はこう言い換えられます。
>「 コインを２枚投げました。片方を見てみたら、表でした。
>さて、もう片方が表である確率は？ 」
>　これに１/３と答えるのが、いかにナンセンスかは容易に
>ご理解いただけますよね。１/２ しかありえないのですから。

言い換えというには不正確ではないでしょうか。
どこが違うかというと「片方を見てみたら」という部分です。
上記のコインの例は，私がNo.10で「先ほどの設定を次のように変えると，確率は2分の1になります。」として書いた例に相当します。
この例については，はっきり「2分の1」と私も書きました。

元の問題の趣旨の沿った言い換えは，たとえばこういうものです。

「Aさんが目隠しをして，コインを2枚投げました。
その結果を見たBさんに，『表の図柄（たとえば10円玉なら平等院鳳凰堂の絵）が見えますか』と尋ねたら，『はい，見えます』という返事でした。
今この時点で，Aさんは目隠しを取らずに，2枚の出方が『表と裏』か『2枚とも表』であるか賭けようとしています。
どちらにかけるのが有利でしょうか」

どこが先ほどの例と違っているか，よく考えてください。

>というか、「確率は2分の1になります」と何度も書い
>ているのはご自分のほうなのにねえ。妙な話です。

残念ながら，私の書いた文章をちゃんと読んでいただけていないようです。
「元の問題では3分の2だが，この設定をこう変えると2分の1になる」という話をしているのです。勝手に省略しないでください。

まあ確かに，最初に「なぜ2分の1という解釈が出てくるのか」という説明の方を書いてしまったので，分かりにくくなってしまったことは認めます。
しかし，全体の趣旨をよく読んでいただければ，「そのような解釈は，もともとの雑誌にあったクイズの出題の意図とは違う」ということを言おうとしているのがお分かりいただけないでしょうか。少なくとも質問者さんにはおわかりいただけたようですが。

>いやはや、ただの一度も「 なぜ ２/３ になるのか 」という理由を
説明できていない人に、

説明したつもりでしたが，もっと丁寧に「３」とか「２」といった数字がダイレクトに出てこないと，説明が通じないようですね。
説明の文章に沿って考えてもらえばおのずと明らかかと思って省いてしまったのがまずかったのかも知れません。
それじゃ，3とか2があらわに出てくる形で書きましょうか。

一つは，No.9の末尾で「分母が違ってきます。」と書いたその先の部分です。次のように補いましょう。

「2分の1になる」という考え方をする人は，b-1やc-2を除外しているので，分母はb-2, c-1, d-1, d-2の4通りで，分子がd-1, d-2の2通りだから2分の1と考えるのであろう。
しかし，雑誌の出題者の意図は，b-1やc-2も除外されないので，分母にその2つが加わって，分母＝6通り，分子＝2通り。つまり，2人とも女子である確率は2/6＝1/3であり，男女ペアである確率は余事象の2/3である。

もう一つは，No.10のまんなか辺です。

>このうち，返事があるのは，b, c, dの3000人。
>そのうち，姉妹なのはdの1000人。
>男女なのはb,cの2000人。
>という単純な話なのですが…

これを読んだら，姉妹は1000/3000（＝1/3），男女は2000/3000（＝2/3）という計算式になるのはごく自然だと思うのですが，いったいどこから1/2だという解釈になるのか理解できません。

ところで，念のため確認しておきたいのですが，

【2人きょうだいがいるとき，上の子の性別と下の子の性別は独立である】

という命題は真だとお考えでしょうか。
（人口統計上は多少のズレはあるかもしれません，とりあえず問題を解く上で，これを真だと仮定して解くかどうか，ということです）
私は真だと仮定して解いています。というか，そうでないと解けません。

No.12：
>組み合わせは３通り存在しています。組み合わせでは
>順番を考慮しないので、兄や妹といった長幼の順は無視されます。

>男同士
>異性同士
>女同士

なるほど，問題はここですね。
確かに3通りです。しかし，その3通りが全て「同様に確からしい」かどうかを吟味しなくてはなりません。
もし，場合の数だけで確率が論じられるのであれば，「この宝くじが1等に当たる確率は，当たるか当たらないかの2通りの内の1通りが起こるのだから，2分の1」なんてことになってしまいます。
だからこそ，正確な確率表現だけでなく，わざわざ「人数」を用いた説明を試みたのです。
（つまり，この3通りの隠し子を持つ親タレントは，ほぼ同じ人数いるだろうか，ということです。人数で考えれば，事象がn通りあるからといって平等にn分の1ずつの人数に分かれるとは限らない，ということがイメージしやすいかなと思ったのですが…）

さきほどの【　】内の命題を真だと仮定すると，この3つの事象の確率はそれぞれ，1:2:1の比率になります。1:1:1ではありません。

>このどちらで考えても、片方が女だとわかっているときの残り一人の
>性別は男女５０％ずつです。順列の場合は下４つから２つ、組み合わせ
>の場合は下２つから１つを選び出すことになるからです。

この議論は，「男同士」「異性同士」「女同士」の3通りがいずれも「同等に確からしい（1:1:1の割合で起こる）」場合にのみ成り立ちます。

ちなみに，同じロジックの問題や解説が載っているページを見つけました。ご参考までに。
「確率のパラドックス」（日経サイエンス2005年12月号）
http://www.nikkei-bookdirect.com/science/page/magazine/puzzle/puzzle0512/question.html
問4が男女の問題です。
ただ，解説にあるように，この問題4では「外で遊んでいる」という場面設定にしたために，出題者の意図と違った意味になってしまい，1/2になっています。
もともとは，解説欄に「私の意図」として書いてあるように「２人の子供のうち少なくとも１人が女の子だとわかったとき，もう１人も女の子である確率はいくらか」ということが聞きたかったようで，それならば答えは1/3になります。
（なお，解説の中にある，たとえば「女１男２女１」というのは，「2人の子どもは姉と弟であって，そのうち姉の方が外に出ていた」という風に読みます）

「1人が外に出ているところを見る」というのは，先ほどのNo.10で書いた，「子どもを1人だけスタジオに入れてから，もう1人を当てさせる」という場合に相当しますので，確率は1/2になります。

もう一つ。
「確率過程論」（法政大学工学部で西岡國雄氏が行った集中講義のテキスト）
c-faculty.chuo-u.ac.jp/~nishioka/resume1.pdf
直接PDFファイルにリンクしていますのでご注意下さい。
いきなり確率測度論のことが書いてありますが，とりあえず気にしないで，問題3.1だけ見てください。（答えは2/3になっていますね）

問題3.1. “ 王に姉妹はいるか? ”
先王には子供が二人おり, その内の一人が新たに王として即位した. 新王に姉妹がいる確率を求めよ. ただし, 男女の比率は1 : 1 とする.

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
正直少しついていけなくなってきている感がありますが最初の例は納得できます。
このタレントが「そのうち１人をここに連れてきました。はい、見ての通りの女の子です！」とやったらもう１人の男女の確率は５０％です。
でもそうではないんですね（例が思い浮かびませんが・・）

補足

数学カテゴリーでも質問を投稿しました。
こちらを参照ください。
http://okwave.jp/qa2815878.html

回答No.6

nidonen

たびたびすいません、＃２です。

　こういう考え方もあります。林氏が例に出している子ども二人は
兄弟姉妹ですよね。なので、年上と年下に分けることができます。
その場合、「 女の子であることが判明した人 」が姉か妹かによって、
女・女 にも二通り存在することになります。

　つまり、「 男・男 」を除いた場合、以下のような４つの順列が存在します。

姉・弟 （ すなわち 女・男 ）
兄・妹 （ すなわち 男・女 ）
姉・妹 （ すなわち 女・女 ）
妹・姉 （ すなわち 女・女 ）

　ここでは「 姉・妹 」と「 妹・姉 」を分けていることが重要です。
だって、「 １人は女の子 」が姉なのか妹なのかわからないのだから、
その両方の可能性をそれぞれカウントする必要があるからです。

　女・男 と 男・女 を分けて考えるのであれば、女・女 のケースも
「 姉・妹 」と「 妹・姉 」の２つに分けて考えなければなりません。
これなら、４つの選択肢から２つを選ぶので、確立が 50 ％ になるこ
とが理解しやすいのではと思います。

お礼

すでに述べましたが（女・女）はだぶっていますからひとつで考えるべきです。
個別に考えると５０％ですが、２人どちらでもいいと考えるとダブっている部分を考えないといけないわけです。
失礼ながらみなさんの回答が増えるごとに私は当初の自分の考えが間違っていることが確信されてきました。

それにしてもこの質問が人生相談であれば答えのない議論がエスカレートするのでしょうが、数学は答えがひとつなので楽しいし気持ちいいですね。

回答ありがとうございました。

回答No.5

nidonen

> なんだか質問と反対の立場になってしまって恐縮ですが

　いえいえ、問題を突き詰めるのは大事なことです。

> つまり「AとBのどちらかは女である」という前提なのです。
> 実は「Aが女、もしくはBが女である」という意味であることがポイントですね。

　もちろんです。私の＃３の回答が言葉足らずだったので
誤解を招いてしまったのだと思います。ここでは順列をベースに
再度、説明させてもらいます。

１）前提 ： ここに Ａ さんと Ｂ さんがいます

２） Ａ さんと Ｂ さんの性別の組み合わせ（本当は順列）は以下の４つです。

Ａ男・Ｂ男 （ア）
Ａ男・Ｂ女 （イ）
Ａ女・Ｂ男 （ウ）
Ａ女・Ｂ女 （エ）

３） 片方が女だと分かりました。
→ 質問者さんの考え（ 林氏の考え ）では、ここで（ア）が除外
されますよね。よって、（イ） （ウ） （エ）のいずれかということに
なります。それだとたしかに、女性になる確率のほうが高そうです。

　そこに間違いがあるのです！　女なのはＡでもＢでもいいわけです。
だから、Ａが女であれば（イ）も除外しなければなりません。同様に
Ｂが女であるなら（ウ）が除外されます。よって、２通りしか残らず、
その結果、男女の確率は 50％ ずつとなります。

　（２）で示しているのは順列です。ですので、女なのがＡなのか
Ｂなのかを無視することは絶対にできません。よって、＃３のお礼で
示された「 この中で１人が女であるのは「男女」と「女女」 」という
のが間違っています。ここでいきなり順番の概念が消えているからです。

　（ア）だけを除外したいのであれば、ＡとＢの区別をせずに
「女同士」 「異性同士」 「男同士」という３つの組み合わせで
考えなければなりません。何度も何度も言いますが、順列の話を
途中で組み合わせにすり替えてしまうから、混乱するんです。

お礼

＞Ａが女であれば（イ）も除外しなければなりません。同様にＢが女であるなら（ウ）が除外されます。

はい、その通りです。

＞よって、２通りしか残らずその結果、男女の確率は 50％ ずつとなります。

これが違うと思います。
Ａが女で（イ）が除外された結果残るのは（ウ）（エ）
同じくＢが女で（ウ）が除外された結果残るのは（イ）（エ）
これを組み合わせると（ウ）（エ）（イ）（エ）が残るのですが（エ）はダブっているのでひとつして考え最終的に「（ウ）（エ）（イ）」が同じ比率で残るわけです。

＞＃３のお礼で
示された「 この中で１人が女であるのは「男女」と「女女」 」というのが間違っています。

この表現は回答者の例に合わせ「組み合わせ」を使って表現しただけです。最初から組み合わせで考えていますからすり替えはしていません。
ただこの設問は順列のほうが考えやすいのは確かだと思います。

再度の回答ありがとうございました。

回答No.4

cohsy

またまた登場、＃１です。
みなさんが仰るように順列なら４通り、組合せなら３通りなのですが、
ここはひとつ質問者さんの言葉をベースに解明してみたいと思います。

＃２さんのお礼で質問者さんは、

＞Ａ・Ｂのどちらか１人は女なので、
＞Ａ男・Ｂ女、Ａ女・Ｂ男、Ａ女・Ｂ女　の３通りが残ります。

と仰ってます。「Ａ・Ｂのどちらか１人は女」というのは
言い換えれば「Ａが女、又はＢが女」ということですが、
この時、もう一方が男である確率を探ってみましょう。
Ａが女の時、Ｂが男である確率は、「Ａ女・Ｂ男、Ａ女・Ｂ女」
ですから５０％です。
Ｂが女の時、Ａが男である確率は、「Ａ男・Ｂ女、Ａ女・Ｂ女」
ですからやはり５０％です。
つまりどちらの場合も、もう一人は男女半々ということです。

ご納得いただけましたか。

お礼

ちがうと思います。
Ａが女の時、Ｂが男である確率は、「Ａ女・Ｂ男、Ａ女・Ｂ女」ゆえに５０％。
Ｂが女の時、Ａが男である確率は、「Ａ男・Ｂ女、Ａ女・Ｂ女」ゆえに５０％。
ここまではOKです。

これを言い換えると「Ａ女・Ｂ男」→５０％、「Ａ女・Ｂ女」→５０％、「Ａ男・Ｂ女」→５０％、「Ａ女・Ｂ女」→５０％　となります。
だから確立は半々となりそうですが、「Ａ女・Ｂ女」がダブっていますのでこれをひとつでかんがえなければなりません。
結局３通りが同じ比率で残り確立は３分の２になります。

確かにAが女の時は一方が男なのは５０％。
Bが女の時も一方が男なのは５０％。
でもAかBのどちらかが女の場合は５０％にはなりません。

再度の回答ありがとうございました。

回答No.3

nidonen

いえいえ、違いますよー！

> 組み合わせはＡ男・Ｂ男、Ａ男・Ｂ女、Ａ女・Ｂ男、Ａ女・Ｂ女　の４通りです。

　「 Ａ男・Ｂ女 」と「 Ａ女・Ｂ男 」は同じことなんです。これを別物と
考えるのは組み合わせではなく、順列です。これを混同してはいけません。

　もし順列をベースに考えるなら、ご指摘の通り４通りになります。しかし
このとき、「 Ａは女である 」が前提なのですから、「 Ａ男・Ｂ女 」という
選択肢は除外されます。よって「 Ａ女・Ｂ男 」の「 Ａ女・Ｂ女 」どちらか
ということになり、やはり確率は 50％ となります。

　重ねて言いますが、“組み合わせ” と “順列”を混同しないでください。
また、どちらをベースに考えても、確率は 50％ しかありえません。

お礼

なんだか質問と反対の立場になってしまって恐縮ですが・・・
設問は「Aは女である」という前提ではなくどちらか１人が女である、つまり「AとBのどちらかは女である」という前提なのです。
順列ではなく「組み合わせ」で考えると確かに「男男」「男女」「女女」の３通りです。
ただ各々の確立は「男男」→４分の１、「男女」→４分の２、「女女」→４分の１です。
この中で１人が女であるのは「男女」と「女女」。
「男女」と「女女」の比率は２：１。
もう１人が男である確立は３分の２になります。

「どちらかが女である」と言われて私たちは「Aは女である」と思いますが、実は「Aが女、もしくはBが女である」という意味であることがポイントですね。
再度の回答ありがとうございました。

回答No.2

nidonen

明らかに林さんが間違っています。林さんが例示された
「 女・男 」と「 男・女 」は、組み合わせでは等価だからです。

　二人の性別の組み合わせは３通りしかありません。
「 女・女 」 「 男・男 」 「 女・男 」の３つですね。
これを４通りにしているのがそもそもの間違いです。
＃１ さんの主張するとおり、組み合わせと順列を混同
しています。

> 「Cを選んだ人は“思い込みの危険”を自覚しましょう」（林氏）

　林さんにはぜひ、「 順列と組み合わせを同じものだと思っている
“思い込みの危険”を自覚しましょう 」と言ってあげたいですね（笑）。

お礼

僕もそう思っていたのですがどうやら間違いのようです。
２人をＡ・Ｂとします。
組み合わせはＡ男・Ｂ男、Ａ男・Ｂ女、Ａ女・Ｂ男、Ａ女・Ｂ女　の４通りです。
Ａ・Ｂのどちらか１人は女なのでＡ男・Ｂ女、Ａ女・Ｂ男、Ａ女・Ｂ女　の３通りが残ります。
もう１人が男である確立は３分の２です。
これがＡが女であればもう１人が男である確立は半分ですね。

それでも納得いかない気持ちは残りますね。
回答ありがとうございます。

回答No.1

cohsy

質問者が正しいと思います。
数学に強いわけではありませんが、
Questionは「１人は女の子」とあるように順列ではなく組合せで、
その割には回答の４通りは組合せではなく順列になってます。
「長子は女の子」という順列の問題なら可能性は、１.女＞女　２.女＞男
ですから確率半々ですし、「１人は女の子」という組合せの問題なら
１.女と女　２.女と男　ですからやはり確率半々です。

お礼

この質問をしてしばらく考えたのですが
どうやら私が間違っていたようです。
問題の表現がちょっと曖昧なのですが「２人のうちどちらか１人が女」なのです。
逆に言えば「２人とも男」ではないといえます。
ですからこのパターンはやはり既に挙げた３パターン。
もう１人が男である確立は３分の２です。
これが「年上のほうが女」と２人のうちどちらかを特定するのであれば確立は半分ですね。

回答ありがとうございます。