微分方程式

質問

(x-1)y''-xy'+y=0

この２階線形微分方程式(ですよね？)お願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#1です。

>よく観察すれば
>　∴y=c1*e^x +c2*x
>が解であることが分かる。

つまり、
y=e^x　と　y=x は互いに独立な解であることは
代入すれば微分方程式が成り立つことから分かるでしょう。
２つの独立な解が求まれば、それらの解に任意定数c1,c2をつければ
もとの「２階の変数係数線形微分方程式」の一般解となります。

参考URLとして
http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/d-eq/bi7.pdf
の「7.4」が参考になるかと思います。

質問の問題は変数係数の２階線形微分方程式です。
この微分方程式を満たす解を求めるには
y=e^(ax)やy=x^bとおいてa,bを求めてa,bを求めればいいですが、
今はa=b=1で明らかなので省略しています。
y=e^x,y=xが互いに独立な解なので、
A#1 の通り、一般解は、任意定数c1,c2を掛けて
　y=c1・e^x +c2・x
となります。

回答No.2

alice_44

「なんとなく」じゃなく、貴方の理解でいいんじゃないでしょうか。
問題の方程式は２階斉次線型なので、一般解が２次元ベクトル空間
をなすことは最初から判っています。一次独立な特殊解を２個
ヤマカンで発見して、「これが基底」と言ってしまえば完了です。
y=x と y=e^x に気づくのは、そう難しくない話だし、上記を一言
断ってしまえば、それで済むように思います。

回答No.1

info22_

>２階線形微分方程式(ですよね？
その通り。

y=(1-x)y''+xy'

よく観察すれば

　∴y=c1*e^x +c2*x

が解であることが分かる。

お礼

…言われてみたら特殊解はy=x,e^xなので、
そのような答えになるのはなんとなくわかりますが…、

教科書には２階線形微分方程式の解き方として
(1)y=xが特殊解なのでy=xvとおき、y'とy''を求め、問題式に代入し、v''/v'を求め、積分したりして一般解を求める方法
(2)y=x^mとおき、y'とy''を問題式に代入し、mを求めることで、一般解を求める方法
が載っています。
こんな感じで計算して答えを求めていけないでしょうか？

ご迷惑かけてすみません。

補足

何度もすみません。

この問題がテストに出そうなのですが、途中式を書かないと点数がもらえない可能性があるので、途中式をお願いします。