ボールの自由落下

質問

初めて投稿させていただきます。 nayuと申します。

質問内容です。
高さ１８０メートルの塔の屋上からボールを落とした時、何秒後に地上に到達するのでしょうか？
重力加速度は１０メートル毎秒毎秒として、空気抵抗は無視とします。

公式の書き方は分かるのですがその公式の意味なども含めて教えていただけないでしょうか。
宜しくお願いいたします。

回答No.6

k_yuu01

運動とは連続であり、「平均の速さ」という”不連続”な手法では真の移動距離を求めることは出来ません。
微積分では「無限小の時間における平均の速さ」を用いて移動距離を求めます。こうすると誤差も無限小なので真の移動距離といえる式が出てくるのです。

＞三角形のグラフを使用しない場合、何故÷２が必要とするのかが分かりません。

物理を語る際には、数学という言語が必要です。
数学的考察（移動距離は速度の積分）により移動距離Xを求めると必然的に「t^2」と「1/2」が出てきてしまいます。
数学と物理は密接な関係をしており、切っても切れない関係なのです。
よって、「積分したら÷２が出てくるから」÷２が必要なわけで、何故そんなことが言えるかと問われれば「物理は数学に支配されているから」と答えるしかありません。
まあ、物理という意思を言葉に直したのが数学といったところでしょうか。

自由落下の式「X = gt^2/2」はガリレイが実験から求めたそうです。この時は「実験結果の数値にあわせるために÷２をした」のではないでしょうか。

回答No.5

k_yuu01

＃３です。

＞1:aという部分はg(重力加速度)なので毎秒毎秒の速度の
＞増分でしょうか？

単位時間当たりいくら速くなるか（速度が＋されるか）が加速度です。１０メートル毎秒毎秒だと、一秒ごとに10ｍ/s速度が速くなります。

＞2:t^2の部分は時間の２条とはどういう意味なのでしょうか？
＞3:何故÷２をするのでしょうか？

何故？と問われると微積分の話を持ち出さなくてはなりません…
v-tグラフを描くと、その線とX軸の間の面積が距離Xであることは理解していると思います。
速度が一定の場合、この面は三角形を描き、速度が一定でない場合は凹んだ三角形を描きます。それでもこの面積の意味は距離です。
さてここから本題。
では凹んだ三角形の面積はどう求めるか？
大昔から様々な数学者がこの問題に悩みました。
でも今日では微積分により簡単に解けるのです。
積分の説明の前にまず微分の説明から
微分とは”グラフ上の線の傾きの式”を求める操作です。
例えばｙ＝ｔなら、その傾きの式（微分した式）はｙ’＝１
つまり一定の傾きを持ったまま、です。
微分は簡単で、一般的にt^mを微分するとmt^(m-1)となります。
「乗数が前に落ちて、乗数が一つ減る」といったところ。
積分はこの逆の操作です。
つまりt^mを積分すると t^(m+1) / (m+1)　。
積分とは”グラフ上に描いた線とX軸の間の面積の式”を求める操作です。
例えばy=x^mという式があれば、この線とX軸の間の面積Sの式は
S = x^(m+1) / (m+1)。

以上を踏まえて「V = gt」を積分（線に囲まれた面積を求める）すると
t　→　t^2 / 2　となるので
「X = gt^2 / 2」

…まだ何かありましたらお気軽にどうぞ

補足

質問内容を変えてお尋ねします。

速度0m/秒のものが1秒間に10m/秒づつ増えると，1秒後に速度10m/秒，2秒後に20m/秒，3秒後に30m/秒と早くなりますが

私の今までの考えでは
１秒後 10m/s　現在地10m
２秒後 20m/s　現在地30m
３秒後 30m/s　現在地60m
となるので３秒後には60mの位置になるのではないと思っていました。

でも１秒間を考えて見ると
この間ずっと10m/sで移動していれば距離は10mになります。
しかしずっと10m/sで移動してるのではなく、初めは0m/sで、ジョジョに加速して１秒後に10m/sになるので、一定の割合で速度が増えたとすると、この１秒間の平均の速さは5m/sという部分の考えで何故÷２なんでしょうか？昔の方は微分、積分を使わず÷２という言葉ではなくどういう言い回しをしていたのでしょうか？

よろしければ教えていただけないでしょうか。
よろしくおねがいします。

回答No.4

starshira

どうしてこういう公式になるのか，という点でお答えします。
私が理解しやすかった話です。
微分積分の概念がお分かりなら，分かっていただけると思います。

時刻tについて，
y(t)を，ボールの位置（落下距離）とします。
位置y(t)をtで微分するとボールの速度（距離の変化量）になります。y'(t)と書きます。
速度y'(t)をtで微分すると，ボールの加速度（速度の変化量）になります。y''(t)と書きます。

さて，重力加速度をaとすると，自由落下ですから，
y''(t)=a
です。
両辺を時刻0～tまで積分すると，
y'(t)=at
で，速度の公式が得られます。
さらに両辺を積分すると，
y(t)=(at^2)/2
という，落下距離の公式が得られます。

私は一つ一つの公式を覚えるときは釈然とせず，
2で割るのを忘れたり，2乗を忘れたりして結局うろ覚えでした。
なぜ三角形を書くのかもよく分かっていなかったり・・・。
しかし，上記のように考えるとすんなり理解できました。
人によって覚え方はいろいろでしょうが・・・。

お礼

また一歩、理解に近づけました。
ありがとうございます。

回答No.3

k_yuu01

速さVは　「V = at」 ※aは加速度
距離Xは　「X = at^2/2 + vt」 ※小文字vは初速度

下向きを正として、重力加速度ｇを上記のaに代入すれば、時々刻々の速さと距離が求められます。

恐らく自由落下を想定しての問題だと思うので初速度vを0とすると
V = gt
X = gt^2/2
となります。

１８０メートル落下した、つまり動いた距離は１８０メートル。
よってＸ＝１８０。
ｇ＝１０なので、
180 = 10 × t^2 / 2
tについて求めると６秒となります。

蛇足ですが、地面に衝突する瞬間の速さはV = gtなので
V = 10 × 6 = 60[m/s]
秒速６０メートルですね。

補足

X = at^2/2 + vtのat^2/2の部分が理解できてません。
よろしければ引き続き教えてもらえないでしょうか？

1:aという部分はg(重力加速度)なので毎秒毎秒の速度の
増分でしょうか？

2:t^2の部分は時間の２条とはどういう意味なのでしょうか？

3:何故÷２をするのでしょうか？
vtグラフを使用して三角形の面積が移動距離を表すので
底辺(t)*高さ(v)/2になるというのは分かるのですが
三角形のグラフを使用しない場合、何故÷２が必要とするのかが分かりません。

回答No.2

atk305

・ボールが毎秒１０ｍ／秒の加速度で加速している
・ボールの最初の速度はゼロ（自由落下だから）

この２点から「ｔ秒後のボールの速度ｖ」が「ｖ＝１０ｔ」と書けます。

この式を横軸ｔ、縦軸ｖのグラフに直してみると、傾き１０で原点を通る右肩上がりのグラフになります。
グラフを書くのは直感的にわかりやすくするためです。物理の問題は片っ端からグラフを書いた方がいいです。

さて、ここで例えば「５秒後までにボールが移動した距離はどれくらいか？」を調べるには、
・ｔ軸（横線）
・ｖ＝１０ｔの斜めの直線と
・ｔ＝５の縦線
この３本の線で囲まれた図形の「面積」がそのまま「移動距離」になります。
これがｖ－ｔグラフの便利なところです。大事です。

ちょちょいと計算すると５秒後の場合は１２５ｍですね。

今度はこれをちょっと発展させて「じゃあその面積が１８０になるためにはｔはどれくらいであれば良いか」を考えます。

できあがる３角形の面積をＳとすると
Ｓ＝ｔ（底辺）×１０ｔ（高さ）×０．５
となるので、Ｓ＝１８０を当てはめるとｔ＝６が出てきます。

ちょっと長くなりましたが、参考までに。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

t-yamada_2

Y＝g(t^2)/2
距離(m) ＝ (重力加速度)×(時間)^2 ÷ 2

180＝10×t^2/2　→ t^2＝180×2/10＝36　→　よって　t=6(s)

お礼

ありがとうございました。