あなたは、競争コースのはじまで行くことはできません。

質問

「あなたは、競争コースのはじまで行くことはできません。有限の時間内に無限の数の点を横切ることは出来ないからです。つまりあなたは、与えられた距離の全体を横切る前にその半分を、その半分を横切る前にまたその半分を横切らなければならないのです。このことは限りなく続くのですから、与えられた空間には無数の数の点が存在して、あなたは有限時間の内に無数の点に一つずつさわることはできないのです。」

この論証は正しいのでしょうか？

回答No.4

noname#221368 · ベストアンサー

#1さんがご紹介されているように、これはゼノンのパラドックスとして昔から知られていました。常識的な解決は#3さんです。しかし#2さんの言うことも妥当だという意見は、今でもあります。例えば「数学の哲学」を書いた村田全などがそうです（この人は、本当の職業数学者です）。
　私見を述べます。確かに競争コースの端までには無限個の点が並んでおり、有限時間内で無限個の点に触れることは不可能と思えます。しかし点の幅は無限小です。だとすれば、無限小の点の幅を横切る時間は無限小だから、無限個×無限小＝有限というのが、現代風の解釈です。無限個（無限大）を認められるなら、無限小も認められますよね？。
　いずれにしろ無限大も無限小も、本当に見た人は、#2さんが仰るように誰もいません。でも現代数学は、これらを積極的に認めることで、逆に強くなり、無限に対するある種の抽象化と普遍性を持ったように思えます。それは取ってつけたような「無限公理」ですが、「無限の定義」のほうは、もっと自然です。無限の標準的定義は、
　　無限とは、有限ではないことを言う．
です。私には、とても妥当に思えます。

お礼

ご回答いただきありがとうございました。

回答No.6

a-saitoh

おっと。補足。
点は大きさのないもの(大きさが0)とユークリッド幾何学的には定義されています。
あるものを横切るのにかかる時間は　大きさ÷速度　です。大きさが0ということは点を横切るのにかかる時間も0です。点が無限個あるからといって、横切るのにかかる時間が無限大にはなりません。

という理屈はどうでしょうか。

お礼

ご回答いただきありがとうございました。

回答No.5

a-saitoh

有限の時間内に無限の数の点を横切ることはできますよ。

できないことを証明できますか?

お礼

ご回答いただきありがとうございました。

回答No.3

tyoto

キーワードは無限級数の和の収束です。
たとえば、
1+1/(2^2)+1/(3^2)+…
と言った和は無限大に発散しません。ある数に収束します。

この理論も
（半分までにかかる時間）＋（残りの距離の半分までにかかる時間）＋（さらに残りの距離の半分までにかかる時間）＋（さらに残りの距離の半分までにかかる時間）…

という足し算はある数値に収束します。
この論証では経過時間を区切って考えているわけです。ある時間までしか考えていないのです。よって永遠に到着できないという議論は矛盾しています。

お礼

ご回答いただきありがとうございました。

回答No.2

nrb

競争コースで有限ですから・・・・

無限の物は現実にはありえませんので
どうやって無限の数の点を置けるのですか・・・・

問題が矛盾してますよ

無限ある物の半分横切るの過ぎるのが不可能です
半分は有限ですから

問題がおかしい

お礼

ご回答いただきありがとうございました。

回答No.1

AVENGER

アキレスと亀のパラドクスと同じですな。

http://www.geocities.jp/oku2jp/

お礼

ご回答いただきありがとうございました。