Σx(a^x)の一般式

質問

aを任意の整数、xを1,2,3,4…とするとき、
Σx(a^x)つまり
a^1+2a^2+3a^3+4a^4+5a^5+…+na^n
となるような一般式はどのように求めるのでしょうか

独自の方法によると{a^(x+1)×(xa-x-1)+a}/(a-1)^2
が一般式と求まったのですが、違うでしょうか？

数学の知識が豊富な方の解きかたが知りたいです。

回答No.2

debut · ベストアンサー

Ｓ[x]=a^1+2a^2+3a^3+・・・・・+(x-1)a^(x-1)+xa^x　とすると、
両辺に a をかけて、
aＳ[x]=a^2+2a^3+3a^4+・・・・・・・・・+(x-1)a^x+xa^(x+1)

辺々引くと、
(1-a)Ｓ[x]=a^1+a^2+a^3+・・・・+a^x-xa^(x+1)
a^1+a^2+a^3+・・・・・+a^x　の部分は、初項a、公比a の等比数列だから
x項までの和の公式より、a(1-a^x)/(1-a)
よって、
Ｓ[x]={a(1-a^x)}/(1-a)^2-{xa^(x+1)}/(1-a)
　　　={a-a^(x+1)-xa^(x+1)(1-a)}/(1-a)^2
　　　={a-a^(x+1)-xa^(x+1)+xa^(x+2)}/(1-a)^2
　　　={a^(x+1)×(xa-x-1)+a}/(1-a)^2
と同じでした。

お礼

等比数列の一般式を求める方法とほぼ同じですね。チラシの裏面一枚まるまる使って求めた式が20行に満たない説明で解けてしまうことは…（泣

回答No.4

rabbit_cat

Σa^n = a(1-a^n)/(1-a)
の両辺をaで微分したあと，
両辺にaをかけてもいいです．

お礼

微分という方法がありましたか…なるほど、ためになります

回答No.3

springside

○a≠1のとき

S=a+2a^2+3a^3+・・・+na^n

と置くと、

aS=a^2+2a^3+3a^4+・・・+(n-1)a^n+na^(n+1)

なので、辺々引いて、

(1-a)S=a+a^2+a^3+・・・+a^n-na^(n+1)
=a(1-a^n)/(1-a) - na^(n+1)

となるから、

S=a(1-a^n)/(1-a)^2 - {na^(n+1)}/(1-a)

○a=1のとき

S=1+2+3+・・・+n
=n(n+1)/2

お礼

すいません、a＝１の時には式が成り立たないことを忘れておりました。a＝１の時には自然数の和になるんですよね

回答No.1

postro

それであっていると思います。
細かいことを言うと、それは　a≠1 のときのことで、a=1 のときは別な話になりますよね。
普通、参考書などでは
S=a^1+2a^2+3a^3+4a^4+5a^5+…+na^n
とおいて
aS=a^2+2a^3+3a^4+4a^5+5a^6+…+na^(n+1）
だから
辺辺引き算して
(1-a)S=・・・・
とやっていくのですが、もしその方法とは違うやりかたで求めたのなら逆に補足に書いて教えてください。

お礼

まるで等比数列を求めるやり方と似ていることに愕然としました。そんな簡単に求めることができるんですね

補足

独自ですので説明しにくいのですが、

私の計算法によると
Σx(a^x)=ax(x+1)A
となります。
Aは総和をとると{a^(x+1)-1}/{(x+1)(a-1)^2}-1/(a-1)になる式です
Aを求めて右辺に代入すると、一般式が求まります

どうでしょう、複雑な計算ですよね…