不静定はり

質問

不静定はりは未知数が3つ以上あることから力とモーメントのつりあい式では求めることができないとありますが、力のつりあい式は１つだけだとしても、モーメントのつりあい式は各支点や固定部を中心としたモーメントのつりあい式で複数のつりあい式から求めることができそうなのですがなぜ駄目なのでしょうか。そもそもはり問題でモーメントのつりあい式はどういう時に使えるのでしょうか？教えて下さい。（力の作用点ではモーメントのつりあい式は使えない？）

回答No.6

Willyt · ベストアンサー

>下記補足でコメントありましたら頂戴したいのですがいかがでしょうか？
＃２さんご指摘の、『モーメントの中心は何処をとってもよい』というご指摘は正しいのです。これの証明は次のとおりになります。
今Ａ点周りの鉛直力のモーメントをＭaとします。すると
Ｍa＝０
が釣合いの式になります。一方鉛直力の総和をＲとすると、Ｂ点まわりのモーメントはＭa＋Ｒ・Ｓ　Ｓ；ＡＢ間の水平距離
となります。従ってＢ点周りのモーメントが釣り合い式は
Ｍa ＋　Ｒ・Ｓ＝０
となります。ところが桁にかかる外力は釣り合っているのですから、Ｒ＝０となります。だからＢ点まわりのモーメントを計算してもそれはＡ点まわりのモーメントＭa となってしまい、任意の点まわりのモーメントは同じ値になってしまうのです。だからモーメントの釣合い式は一つしか作れないのです。

お礼

Willytさん。分かりやすいご回答ありがとうございます。これで素直に未知数が３つ以上ある場合のはり問題は不静定問題で解くことができそうです。ありがとうございました。

回答No.7

ht1914

今考えている場面は工学系のようですね。物理の場合と用語が違うことがありますので食い違いが心配です。まず私には不静定はりとは何のことかわからないのです。
モーメントを考えるときの基準点についてだけコメントします。（支点という言葉は紛らわしいです。普通は支点と言えば支持点という意味ですから基準点という意味で使うときは混乱を生じます。モーメントの基準点は支持点でなくても構わないという意味であればモーメントの支点という言葉は使わない方が良いと思っています。）
簡単な例で行きます。

原点　　　　　　物体Ａ　　　　物体Ｂ　

質量ｍ1ｋｇの物体Ａと質量ｍ２ｋｇの物体ＢとがＬｍ離れてあるとします。この場合の重心を求めるとします。重心はＡＢの間にあって、運動に関してＡＢの全質量が集中しているとしてよい点です。重心で支持すれば釣り合います。基準点ＯをＡＢの線上に任意にとりＡの座標をｘとします。Ｏの周りのモーメントは
重力の加速度の値をｇとしてＮ＝ｘｍ１ｇ＋（ｘ＋Ｌ）ｍ２ｇです。重心の座標をｘ＋ａとします。重心で支えれば釣り合う点と考えると重心に上向きに（ｍ１＋ｍ２）ｇの力がかかっていることになりますから
ｘｍ１ｇ＋（ｘ＋Ｌ）ｍ２ｇ＝（ｘ＋ａ）（ｍ１＋ｍ２）ｇ
です。これを整理すると
Ｌｍ２＝ａ（ｍ１＋ｍ２）となりｘを含まない式になります。ａ＝Ｌｍ２／（ｍ１＋ｍ２）です。釣り合っている必要もありません。重心に（ｍ１＋ｍ２）の質量があるものを考えると同じ回転運動をすると言うことになります。距離に関して一次式の場合は何時でも成り立ちます。空中を物体が運動している時、重心の運動が放物線になります。
重心の位置は座標系の取り方と無関係に決まるということとモーメントの基準点は何処でもよいということとは同じ内容です。

お礼

ht1914さん。ご回答ありがとうございます。確かに言葉の定義に少し問題がありました。モーメントについては工学的な話だけではないですよね。ありがとうございました。

回答No.5

yu-fo

いっそのこと、発想の転換をはかりましょう(^^;

つりあい条件式だけでは堂々巡りで解けなかったものが、変形適合条件式を導入したらあっさり解けてしまった．

では、だめですか？(-_-)
だめだろうなぁ．．．

補足

yu-foさん。ご回答ありがとうございました。自分なりに一度考えてみます。

回答No.4

yu-fo

＞これは支点を中心としたモーメントのつりあい式もOKと考えてよろしいですか？

もちろん、ＯＫです．支点を含めて梁のどの部分においても適用可能です．

＞なぜ複数のモーメント式は結局同じになってしまうか

私にとっても不思議な現象です(^^;
上手く説明できるすべを持ち合わせていないです．

回答No.3

Willyt

>両端支持で片方には固定モーメントがかかり、支点間に荷重がかかっているはり問題は不静定はりで解くとありますが、力のつりあいと２つの支点それぞれのモーメントのつりあいから３つの式ができ、結果として３つの解がでるように思うのですが、どこが私の認識違いとなるのでしょうか。
　平面梁の場合は水平方向の釣合いがＨ＝０ということで一つ使ってしまっているので、あと二つしか条件式が作れません。それにも拘わらず、両端の反力と、モーメントという３つの未知数があるので、これは一次の不静定になります。

補足

Willytさん。追加のご回答ありがとうございます。
下記補足でコメントありましたら頂戴したいのですがいかがでしょうか？

回答No.2

yu-fo

私もその罠におちいりそうになった経験があります(^^;

まず、「力の作用点ではモーメントのつりあい式は」使えます．
で、「モーメントのつりあい式は各支点や固定部を中心としたモーメントのつりあい式で複数のつりあい式から求めることができそう」に思えてしまいますが、ここが落とし穴です．

モーメントのつりあい式は、確かに複数のポイントで立てることが出来ます．しかし、それらの式は結局同じ式に帰着するのです（ここが理解しづらいところだと思います）．
なので、ちっとも未知数を減らしてくれないのです(--;

複数のモーメントつりあい式が結局同じ式になってしまうことを、簡単な一次不静定のはりで調べてみると良いと思います．

補足

yu-foさん。ご回答ありがとうございます。式としてはモーメントのつりあい式は間違ってはいないということですね。あと、「力の作用点では・・」とありますが、これは支点を中心としたモーメントのつりあい式もOKと考えてよろしいですか？確かに簡単な問題でやると同じになりました。なぜ複数のモーメント式は結局同じになってしまうかうまく説明できないでしょうか？？

回答No.1

Willyt

平面内の釣合いだと実は３つまでは解けるのです。何故なら、釣合いの式は、水平方向の力の総和＝０、鉛直方向の力の総和＝０、任意の点周りのモーメント＝０　の３個作れるからです。
　ところが、梁の場合には働く力が重力だけの場合が多いので、水平方向の力がゼロになります。だから未知数が２個までということになります。
　余談になりますが、外的に静定な構造で、反力を算出できても、その部材に余剰がある場合は釣合いだけで部材力を計算できない場合があるのですよ。これを内的不静定と言います。

補足

Willytさん。ご回答ありがとうございます。
具体的な例で話をさせてください。両端支持で片方には固定モーメントがかかり、支点間に荷重がかかっているはり問題は不静定はりで解くとありますが、力のつりあいと２つの支点それぞれのモーメントのつりあいから３つの式ができ、結果として３つの解がでるように思うのですが、どこが私の認識違いとなるのでしょうか。
以上宜しくお願い致します。