鶴亀算と思うのですが・・・解き方を教えてほしいのですが。

質問

目が出た１年目に１メートル伸び、次の年から、いつも前年の１／２伸び続ける木があります。この木は１０００年たったら何メートルの大木になるか。また、１００メートルを越すのは何年後か。

回答No.6

notnot · ベストアンサー

#1です。
アキレスと亀というのは、亀を俊足で有名なアキレスが追いかけても、さっき亀がいた場所にアキレスが達した時には、亀は少し先に行っており、その場所にアキレスが達した時には亀はさらに少し先に行っていることから、アキレスは亀に永遠に追いつけないというパラドックスです。無限に小さくなる数(この例ではアキレスがさっき亀の居た場所まで進む距離)を無限に足すと有限な値になるというケースがあることの例です。
#1に書いたURLにいろいろ例があるので読んでみてください。

この問題では、毎年前年の伸びの半分だけ伸びるので、一年目に1メートル伸び、二年目に1/2メートル伸び、三年目に1/4メートル、四年目に1/8メートル伸び…と続くのですが、
1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+・・・=2
となりその木は永遠に2メートルを越えません。
アキレスが亀を追い越せないのと同じく、無限時間経っても2メートルを越えないわけです。

補足

有難うございます。永遠に２メートル超えないということは問いにある
１００メートルも越えないという考え方になるんでしょうか。

回答No.7

hika_chan_

>いつも前年の１／２伸び続ける木
ここの日本語が難しいですね。

パターン1
いつも前年の【伸び】の１／２伸び続ける木

このときは数列の知識(高校：等比数列)を使って
高さ＝2-(1/2)^n・・・「ｎ：年数」
と表せます。
ｎがものすごく大きくなると、(1/2)^nはものすごく小さくなるので、0とみなす。という考え方ですね。

パターン2
いつも前年の【高さ】の１／２伸び続ける木

おそらく、こちらの解釈が正しいように思います。
2m以上高くならない木についての問題を出す意味がないですし・・・(試験問題なら別かも)

これなら、No.4さんの考え方で解けますね。

お礼

有難うございます。
言葉の違いで正反対の答えとなるのを実感しました。
どちらを求める問題なのか確認してみます。

回答No.5

BLUEPIXY

１年目：１ｍ
２年目：０．５ｍ
３年目：０．２５ｍ
伸びるということじゃ？

お礼

有難うございます。私の基本的な考え方が違っていたようでした。

回答No.4

noname#114912

数学の数列の知識を使って説明します。
わからなければ無視してもかまいません。
n年目の木の高さをAnメートルとします。
そうするとn+1年目は
An+1=An+1/2An
An+1=3/2An
この式からAnは初項(A1つまり一年目の木の高さです)
A1=1メートル
項比(毎年どの程度高く寝るかの比つまりAn+1とAnの比)
3/2なので、
An=1×(3/2)^(n-1)
つまり1000年後には
1.5の999乗の数になりとんでもない高さの木になります。
この高さは地上から1.2×10^160光年かかる高さになります。
天文学でもこんな数字使うのでしょうか?
また百メートルを越すのは
An>100を満たす最小のnを見つけてください。
nは12になるはずです。
No.3の方の様に対数を使うのもよいかもしれません。

お礼

有難うございます。
具体的な数式に当てはめてやってみたいと思います。

回答No.3

gabo2gou

これは等比数列の問題ですが。。。

ｎ年後の高さ＝(３／２)^(ｎ－１)
1000年後の高さ＝(３／２)^(1000－１)
　　　　　　　＝(３／２)^(999)
　　　　　　　＝(３^999)／(２^999)　　　となります。
これを正直に計算すれば答えがでます。
どうしても欲しければしてみてください。
（エクセルで計算すると　≒約8.2×10^175となり、１７６ケタの数になります。こんなに高い木はあり得ない！）

また、１００ｍを越すのは　(３／２)^(ｎ－１)＞１００
これを解くと、ｎ＞約12.36
１２年と４ヶ月少しで１００ｍを越すことになります。
　　　　(0.36*12=4.32)

これらの計算をするのに、わたしは対数(log)の計算をしました。高校の数学の範囲ということになります。対数を使わないで計算するには、わたしには正直にあてはめてする方法以外には思いつきません。エレガントな方法があれば知りたいです

お礼

有難うございます。エクセルで計算すると確かにとんでもない数字になりました。やはり手計算で解くのは無理ですかね。

回答No.2

Little Ram（@LittleRamb）

一年目・・・1メートル
二年目からは、前年の1/2（50％）伸び続ける
1メートル+0.5メートル＝1.5メートル
三年目は、
1.5メートル+（1.5×0.5）＝2.25メートル

こういうことでしょうか？

補足

有難うございます。
そのとおりです。
年々1.5倍のたかさで伸びるということです。

回答No.1

notnot

鶴亀算とは関係ないですね。
どちらかというと、アキレスと亀。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%AD%E3%83%AC%E3%82%B9%E3%81%A8%E4%BA%80

お礼

有難うございます。
アキレスと亀自体私自身あまり知りませんでした。
知識不足ですね・・・