降伏が発生する時の曲げモーメント

質問

鉄筋の入っていない一様な長方形断面を持つ部材に曲げモーメントMが作用している時、
(1)断面内で最初に降伏が発生する時の曲げモーメントMy
(2)すべての断面が降伏した時のモーメントMp
を求めよ、という問題があるのですが、よく分かりません。
どなたか教えて下さい。

回答No.3

smzs · ベストアンサー

#2 です。申し訳ありません。タイプミスです。

誤
　(2)の場合、降伏応力＝Mp×M/Z （Wは塑性断面係数）としたとき、長方形断面なら、W=(bh^2)/4 となります。

正
　(2)の場合、降伏応力＝Mp×M/Z （Zは塑性断面係数）としたとき、長方形断面なら、Z=(bh^2)/4 となります。
　W→Z

お礼

わざわざ、補足までして頂き本当に有難うございます。
非常によく分かりました。
個人的にまだいくつも分からない問題を抱えているので、
別の問題に関しても目を通して頂けると幸いです。
本当に有難うございました。

回答No.2

smzs

#1 様、残念、(2)の方の説明は違います。

　(1)の方については、ほぼ #1 様の説明の通りです。ただ、凸側、凹側、というのは正確ではありません。中立軸から近い側の再外縁まで、ということになりますが、この質問の場合、長方形断面なので、中立軸から再外縁までの距離は、圧縮側（凹側）、引張側（凸側）も同じですね。

　(2)については、図を用いて説明するとわかりやすいのですが…
　通常、断面内の応力は中立軸から離れるにつれて大きくなる、三角形分布をしています。この三角形分布の応力が降伏応力に達したときが(1)なのですが、その後、さらに曲げモーメントを増加させてやると、三角形の先端が一部、降伏応力の大きさで切り取られたような形になります。　～　この種の問題では、材料特性は、完全弾塑性、つまり、降伏したら、応力ひずみ関係は完全に水平になるものと仮定しています　～　
　その状態でさらに曲げモーメントを増加させてやると、ついには、応力分布は、三角形ではなく、長方形分布になり、断面は終局状態になります。このときの曲げモーメントの大きさが Mp で、全塑性モーメントと呼ばれています。また、はりの中で、曲げモーメントが全塑性モーメントに達した場所を、塑性ヒンジと呼んでいます。

　(1)の場合、降伏応力＝My×e1/I＝M/W （Wは断面係数または弾性断面係数と呼ばれています）としたとき、長方形断面なら、W=(bh^2)/6 ですが、
　(2)の場合、降伏応力＝Mp×M/Z （Wは塑性断面係数）としたとき、長方形断面なら、W=(bh^2)/4 となります。

　Mpは、土木分野ではあまり馴染みはありませんが、建築分野では、ラーメンの塑性設計などで良く用いられます。

回答No.1

heisei_2006

長方形断面のモーメントMと応力の関係は、

最大応力＝M×e1/I
最小応力＝M×e2/I
ここで、e1：中立軸から凸側の最も遠い周辺までの距離
e2：中立軸から凹側の最も遠い周辺までの距離
I：断面２次モーメント
なので、上の式から、最大応力が、降伏点に達する応力のときのモーメントが問題（１）のMy
最小応力が、降伏点のときのモーメントが、
問題（２）のMpと思います。

お礼

すみません、間違えて補足の方に書いてしまいました。
以下同じ文なのですが、
凸側、凹側という表現がよく分からないのですが・・・
また書き忘れてたのですが、σy＝E×εという関係がありました、
ということはσyが最大応力となるのでしょうか？
その他問題上で与えている条件は無かったのですが、
最小応力はいくつになるのでしょうか？

補足

ご回答頂きありがとうございます。
凸側、凹側という表現がよく分からないのですが・・・
また書き忘れてたのですが、σy＝E×εという関係がありました、
ということはσyが最大応力となるのでしょうか？
その他問題上で与えている条件は無かったのですが、
最小応力はいくつになるのでしょうか？