答え合わせ
実数p,q,r,sが
p^2-qr=q^2-rs=r^2-sp=s^2-pq≠0
を満たすとき
p+q+r+s
の値を求めよ
という問題の私の答えは以下の通りです.あっていますでしょうか?
実数p,q,r,sが
p^2-qr=q^2-rs=r^2-sp=s^2-pq≠0
を満たすとき
p,q,r,sの中に0でないものがある
それをpとするように変数名を入れ替える
p≠0
a=q/p
b=r/p
c=s/p
とすると
q=pa
r=pb
s=pc
p+q+r+s=p(1+a+b+c)…(1)
p^2(1-ab)=p^2(a^2-bc)=p^2(b^2-c)=p^2(c^2-a)≠0
1-ab=a^2-bc=b^2-c=c^2-a≠0…(2)
1-ab=a^2-bc
bc=a^2+ab-1…(3)
(2)から
1-ab=b^2-c
c=b^2+ab-1…(4)
↓これを(3)のcに代入すると
b(b^2+ab-1)=a^2+ab-1
a^2+ab-1=b^3+ab^2-b
a^2+ab(1-b)-b^3+b-1=0
a^2=ab(b-1)+b^3-b+1…(5)
(2)から
c^2-a=1-ab
c^2=a+1-ab
↓このcに(4)を代入すると
(b^2+ab-1)^2=a+1-ab
(ab+b^2-1)^2+ab-a-1=0
b^2a^2+(2b^3-b-1)a+b^4-2b^2=0
↓これに(5)を代入すると
b^2{ab(b-1)+b^3-b+1}+(2b^3-b-1)a+b^4-2b^2=0
(b-1)(b+1){(b^2+b+1)a+b^2(b+1)}=0…(6)
(b^2+b+1)a+b^2(b+1)=0と仮定すると
(b^2+b+1)a=-b^2(b+1)…(7)
a^2(b^2+b+1)^2=b^4(b+1)^2
↓このa^2に(5)を代入すると
{ab(b-1)+b^3-b+1}(b^2+b+1)^2=b^4(b+1)^2
b(b-1)a(b^2+b+1)^2+(b^3-b+1)(b^2+b+1)^2=b^4(b+1)^2
↓このa(b^2+b+1)に(7)を代入すると
-b^3(b+1)(b-1)(b^2+b+1)+(b^3-b+1)(b^2+b+1)^2=b^4(b+1)^2
(b^3-b+1)(b^2+b+1)^2=b^3(b+1)(b^3+b^2+b-1)
b^4+b^3+b^2+b+1=0
となる実数bは存在しないから
(b^2+b+1)a+b^2(b+1)≠0だから(6)から
∴
b=±1
b=1の時(5)から
a^2=1
a=±1
a=1と仮定すると
1-ab=0
となって1-ab≠0(2)に矛盾するから
a=-1
↓これとb=1を(4)に代入すると
c=-1
↓これとb=1,a=-1を(1)に代入すると
p+q+r+s=p(1+a+b+c)=p(1-1+1-1)=0
∴
p+q+r+s=0
b=-1の時
↓これを(4)のbに代入すると
c=-a
↓これとb=-1を(1)のc,bに代入すると
p+q+r+s=p(1+a+b+c)=p(1+a-1-a)=0
∴
p+q+r+s=0
お礼
可能なんですか。双方が告訴しているのに検事が一方のみに味方することになりかねず、釈然としないものがありますね。