投票数と重み付けについて

質問

研究で非常に困っています。
投票数によって重み付け評価を求める式を探していますが、
なかなか文献が見つかりません(探し方が下手かもしれんが…)。

【例】
・Aさんが好き：２票、Aさんが嫌い：２票
　→投票総数４票、信頼できる割合　５０％
・Bさんが好き：９８票、Bさんが嫌い：２票
　→投票総数100票　９８％信頼できる

単なる５０％、９８％だけで評価するのではなく、
たとえば投票が少なければ、信頼できる割合を増やして、
投票数が多ければ、現実的な結果とするなど、
重み付けが出来ないかと思っています。

このような手法をご存知でしたら、どんな公式や定義、
どの分野や文献を探せばよいかご教示願います。

回答No.1

at9_am · ベストアンサー

好き・嫌いが信用できる・できないに相当するかどうかは別として、ベイズの方法を使ってはどうでしょうか。

まず、パラメータθと実現値yとの同時確率密度関数 f(y,θ) を考えます。するとベイズの定理から
f(θ|y)∝f(θ)f(y|θ)
となります。また、今回は二項分布ですので、サンプル数を（今回の例で言えば総投票数）n、成功数（今回の例で言えば「好き」と回答した数）を y とおけば
f(y|θ)∝θ^y (1-θ)^(n-y)
と書けます。
ここで、θは必ず 0 と 1 の間にありますがどのような値かは分かりませんので、f(θ)に一様分布を仮定します。すると f(θ)は定数ですから、
f(θ|y)∝θ^y (1-θ)^(n-y)　　...(1)
と書くことができます。θによらず(-∞,∞)の定積分は１にならなければなりません。したがって、β分布になります。β分布とは
f(P)=Γ(α+β)/Γ(α)Γ(β) P^(α-1) (1-P)^(β-1)
　∝ P^(α-1) (1-P)^(β-1)
で定義された分布で、
平均 = α/(α+β)
分散 = αβ/{(α+β)^2 (α+β+1)}
となります。(1)式からα=y+1、β=n-y+1 となりますから
平均 = (y+1)/(n+2)
分散 = (y+1)(n-y+1)/{(n+2)^2 (n+3)}
となります。

ここからAさん、Bさんの信頼度を計算すると
A さん：平均 = 0.5 、分散 = 0.035
B さん：平均 = 0.97 、分散 = 0.0003
と計算できます。
つまり、Aさんは投票数が少ないために、95％信頼区間が0.5±0.07と大きくなり、逆にBさんは0.97±0.0006と小さくなります。

お礼

ありがとうございます。
信用するしないは、それしか思い浮かべられませんでした…（汗)

ベイズ統計ですね。私も挑戦したのですが、
これが絶対的かどうかあまり自信がなくて、
他に公式や定義があるのではないかと探していました。
やはりベイズが最有力なのでしょうか。