１票が選挙結果を変える確率

質問

次のようなモデル選挙を考えます。

N(有権者総数)=10万人
R(投票率)=50%
C(候補者数)=5人
S(当選者数)=2人

(※)無効票はないものとする。
(※)法定得票数等の条件はなく、得票数の順に上位２人が当選とする。
(※)事前のマスコミ情報等による先入観はなく、全ての投票者が平等な視点で投票するものとする。

このような選挙において、私が投じる１票が選挙結果を変える確率はどのくらいのものでしょうか？

ここで各候補者の選挙結果は「当選」「落選」の２通りとし、得票数や当選順位などは考えないものとします。
そういうことなので、「結果を変える」とは私の１票によってその候補者の当落が逆転することを意味します。要するに死票にならないということです。

つまりこのモデルケースの場合、２位と３位の候補者の得票差(自分の票を除く)が１票以内で、かつ３位の候補者に投票した場合のみ「結果を変えた」と考えます。

このような計算を行っているサイトを探してみたのですが見つかりませんでした。

回答No.3

Mathmi

＞さすがに0.47%はあり得ないのではないでしょうか。

＞「全ての投票者が平等な視点で投票するものとする」
この条件から、全ての立候補者の票数はほぼ10000票に集中します。
1万回試行してみましたが、得票数は10000±230程度に99%が集中していました。90％なら10000±145程度です。

1-290のランダムな5個の数字で、2つが同じ数字になる、と考えれば、0.47%はそうおかしな数字ではないのではないでしょうか。
自分の試行では、1万回中36回=0.36%でした。

無論、現実の選挙では全ての候補者が平等に票を得ることはありえないでしょうから、確率の練習問題のような条件下での結果ではあるでしょうが。
試しに得票率を18%/19%/20%/21%/22%にして6万回試行してみましたが、最後の1票が影響を与えたケースどころか、第2位と第3位が同数の場合も1回も出ませんでした。

お礼

私も自分で均等と言っておきながら現実の選挙に囚われていたようです。全候補者が平等なら、１票差というのは意外と高い確率で発生するんですね。

ただ最後に書かれた計算結果からすると、やはり現実の選挙では１票が政治を変える可能性は極めて低そうですね。全く結果が読めない大混戦である場合に限り、投票に行く価値があると言うことでしょうか。

回答No.2

neKo_quatre

> さすがに0.47%はあり得ないのではないでしょうか。天文学的に微小な確率を想像していましたが。

99999人の処理が終わった段階での得票数は下記のような感じです。
10052, 10006, 9991, 9960, 9950
10079, 9989, 9985, 9973, 9882
10111, 10080, 10071, 10004, 9998
10140, 10104, 10026, 9960, 9767
10130, 10011, 9973, 9943, 9899
10065, 10031, 10003, 9968, 9918
10131, 9928, 9927, 9919, 9804
10257, 10161, 10058, 9950, 9935
10196, 10009, 10003, 9977, 9809
10157, 10035, 10014, 9947, 9897
～

それぞれ、平均が1万(9999.8?)、分散がそこそこの整数の乱数みたいなものです。
質問の条件だと、この乱数の2番目と3番目の差が1以下で、更に質問者さんが3番目に投票(1/5の確率)ですから、そんな物では。

テキトーに抜き出したけど、たまたま2番目と3番目の差が1の行があったし。
別の行どうしの数字探せば、結構近い数字も出てるみたいだし。

お礼

言われてみると確かに完全に均等なら１票差も現実的な確率で発生しそうですね。大混戦が予想される選挙なら投票する意味もなくはなさそうです。

ただやはり現実の選挙は候補者間に実力差はあるでしょうから、このようなモデルが適用可能なケースは少ないでしょうか。別の方の回答にもありましたが、僅か1%の実力差でも大数の法則が働くと自分の持つ１票はほぼ無力であるようです。

回答No.1

neKo_quatre

> (※)事前のマスコミ情報等による先入観はなく、全ての投票者が平等な視点で投票するものとする。

どの候補者に投票するか、サイコロを振るのと同じでランダムって事でしょうか？

> つまりこのモデルケースの場合、２位と３位の候補者の得票差(自分の票を除く)が１票以内で、かつ３位の候補者に投票した場合のみ「結果を変えた」と考えます。

ゲンミツには、得票数が同数の場合は当選者が3人でなくてくじ引きなので、さらにくじ引きで3位の候補者が勝つって必要は？
あるいは、本来同数でくじ引きだが、質問者さんの票で同数にならなかったとか。

基本的にはサイコロの問題と同じなので、正規分布、確率密度関数なんかで計算しますが、条件が超ややこしいので、計算は超メンドクサイ。

BellCurve 統計Web - 14-5. 標準正規分布表の使い方1
https://bellcurve.jp/statistics/course/7805.html

モンテカルロ法みたいな方法で、乱数使って投票のシミュレーションみたいな事をそこそこの試行回数繰り返して、
　質問の条件になった回数÷総試行回数
を計算して確率を推定とかの方が簡単です。
回数増やす事で信頼性を上げます。

雑にプログラム作って(くじ引き無しで、質問の条件)、回数多くないですが試すと、0.47パーセントとか？

お礼

ご回答ありがとうございます。
これはあくまで選挙を題材とした数学的モデルと考えてください。
２位と３位が同数となった場合は３人を当選とするでも構わないです。求めたい確率のオーダーに大きく影響するなら別ですが、おおよそどの程度か知りたかったまでですので。

＞どの候補者に投票するか、サイコロを振るのと同じでランダムって事でしょうか？

その通りです。候補者にも投票者にも全く色が付いていないものと考えます。

＞雑にプログラム作って(くじ引き無しで、質問の条件)、回数多くないですが試すと、0.47パーセントとか？

さすがに0.47%はあり得ないのではないでしょうか。天文学的に微小な確率を想像していましたが。知りたいのは、「全投票者の中の誰か」ではなく「自分自身」が結果を変える確率です。