３次元の平面上の点かどうかを判定したい

質問

３次元空間の３点で三角形を作って、その三角形上に点があるかどうかを判定したいのですが、どうすればよいでしょうか？
例えば３点、a(0,0,0),b(10,0,0),c(0,10,0)で三角形abcをつくったとき、(0,1,1)はabcの平面上、(0,10,10)は平面外という風に判定したいです。

回答No.7

sanori · ベストアンサー

＃２＃６です。

＞＞＞
そうです！△ａｂｃの内部ということです。
例として書いたのは「△ａｂｃの内部」ということを分かってもらうために簡単なものを書きました。
なので、例の３点だけでなく、任意の△ａｂｃの内部にたいして、任意の点を判定するには、どうすれば良いでしょうか？
私は公式を覚えるのが不得意な人間なので、あくまでも「前回回答までのような考え方を踏襲」してやりたいと思います。
-------------

では、やってみましょうか。

ただし、私は、計算が非常に不得意（笑）←マジ
なので、
以下の手順は検算（検証）してみてください。

三角形△ＡＢＣの３頂点が、
Ａ(xa, ya, za)
Ｂ(xb, yb, zb)
Ｃ(xc, yc, zc)
であり、
判定対象の点は
Ｘ(X, Y, Z)
であると置きます。

まず、点Ａが原点(0,0,0)になるように、全部の点を平行移動します。
Ａ' ≡ Ｏ (0, 0, 0)
Ｂ' (xb-xa, yb-ya, zb-za) ≡ ベクトルＯＢ'→ ＝ ｂ→
Ｃ' (xc-xa, yc-xa, zc-xa) ≡ ベクトルＯＣ'→ ＝ ｃ→
Ｘ' (X-xa, Y-xa, Z-xa) ≡ ベクトルＯＸ' → ＝ ｘ→

このとき、
ｘ→ ＝ [０～１]×ｂ→ ＋[０～１]×ｃ→
であれば、Ｘは△ＡＢＣの内部（辺の上も含む）です。

ｘ→ ＝ アｂ→ ＋ イｃ→
（０≦ア≦１，０≦イ≦１）

したがって
X －xa ＝ ア（xb － xa） ＋ イ（xc － xa）
Y －ya ＝ ア（yb － ya） ＋ イ（yc － ya）
Z －za ＝ ア（zb － za） ＋ イ（zc － za）

ここで、未知の数は、アとイだけです。
つまり、解が２個しかないのに、３本の式があるという、へんてこりんな連立一次方程式です！

ですから、
１本目の式と２本目の式から、アとイを確定させて、それが３本目の式と矛盾していないかを調べれば、点Ｘが三角形の内部であるかどうかが判定できます！

------------------------------------------------------
１本目の式より、
(X －xa)(yb－ya) ＝ ア(xb－xa)(yb－ya) ＋ イ(xc－xa)(yb－ya)

２本目の式より、
(xb－xa)(Y－ya) ＝ ア(xb－xa)(yb－ya) ＋ イ(xb－xa)(yc－ya)

引き算すれば、
(X －xa)(yb－ya) － (xb－xa)(Y－ya) ＝ イ(xc－xa)(yb－ya) － イ(xb－xa)(yc－ya)
　＝ イ｛(xc－xa)(yb－ya) － (xb－xa)(yc－ya)｝

よって
イ ＝ ｛(X －xa)(yb－ya) － (xb－xa)(Y－ya)｝／｛(xc－xa)(yb－ya) － (xb－xa)(yc－ya)｝

これを再び１本目に代入すれば、
X －xa ＝ ア（xb － xa） ＋ （xc － xa）｛(X －xa)(yb－ya) － (xb－xa)(Y－ya)｝／｛(xc－xa)(yb－ya) － (xb－xa)(yc－ya)｝

よって、
ア ＝［ (X －xa －（xc － xa）｛(X －xa)(yb－ya) － (xb－xa)(Y－ya)｝／｛(xc－xa)(yb－ya) － (xb－xa)(yc－ya)｝］÷（xb － xa）

さらに、上の上の上の式に代入すれば、
イ ＝ ・・・（略）

こうして求めたアとイがそれぞれ、０から１の範囲内に入っていれば、第１、第２段階はクリア。

残る第３段階は、それらを３本目の式に代入して、左辺と右辺がぴったり一致していれば、第３段階（＝最終段階）もクリアです。

-------

なお、
もしも点Ａ（xa, ya, za）が最初から原点（０，０，０）であれば、

X ＝ ア・xb ＋ イ・xc
Y ＝ ア・yb ＋ イ・yc
Z ＝ ア・zb ＋ イ・zc

１本目の式より、
X・yb ＝ ア・xb・yb ＋ イ・xc・yb
２本目の式より、
Y・xb ＝ ア・xb・yb ＋ イ・xb・yc
引き算。
X・yb － Y・xb ＝ イ・(xc・yb － xb・yc)
イ ＝ (X・yb － Y・xb)／(xc・yb － xb・yc)
↑これが０～１の範囲か？
この判定結果が合格ならば、次、

１本目の式にイを代入。
X ＝ ア・xb ＋ xc (X・yb － Y・xb)／(xc・yb － xb・yc)
移項。
ア・xb ＝ X － xc (X・yb － Y・xb)／(xc・yb － xb・yc)
　　＝ ｛X(xc・yb － xb・yc) － xc (X・yb － Y・xb)｝／(xc・yb － xb・yc)
　　＝ ｛X(０ － xb・yc) － xc (０ － Y・xb)｝／(xc・yb － xb・yc)
　　＝ xb・(Y・xc － X・yc) ／(xc・yb － xb・yc)
よって、
ア ＝ (Y・xc － X・yc) ／(xc・yb － xb・yc)
↑これが０～１の範囲か？
この判定結果が合格ならば、次、

以上で求めた　ア＝＊　と　イ＝＊　を、３本目の式
Z ＝ ア・zb ＋ イ・zc
に代入してみる。
↑これで、左辺と右辺がピタリと一致するか？
この判定結果が合格ならば、全条件クリア。

------------------------------------------------------

他の考え方も紹介しましょう。
その考え方とは、「影踏み」です。
三角形の内部に点があるためには、
ｚ＝０の点だけを集めた平面（ＸＹ平面と言う）に対して、垂直方向から光を当てたとき、ＸＹ平面というスクリーンに投射された影ににおいて、点は、三角形の内部に入っていないといけません。

つまり、Ｚ座標を無視して、Ｘ座標とＹ座標だけを見て２次元で考えればよいです。
これを式で書けば、

ベクトル(X-xa,Y-ya) ＝ ア×ベクトル(xb-xa, yb-ya) ＋ イ×ベクトル(xc-xa, yc-ya)

ということは、１本目の式は、
X －xa ＝ ア（xb － xa） ＋ イ（xc － xa）
↑
この式、どっかで見たことありませんか？
（以下、略）

いずれにしろ、上記のような地道な作業になりそうです。
色々な点Ｘの座標について確かめたければ、表計算ソフトにぶちこめばよいでしょう。

回答No.8

freedom560

三次元って難しく感じるかもしれませんが、ベクトルをしっかり学んでいればこの程度なら二次元とほぼ同様に解くことができます。

つまり、

△ＡＢＣ上に点Ｘがあるかどうかを判別するための条件は

→ＡＸ＝ｓ×→ＡＢ＋ｔ×→ＡＣ　

と書いたときに

０≦ｓ≦１　かつ　０≦ｔ≦１　かつ　０≦ｓ＋ｔ≦１

を満たしているかどうかを調べればよいです。
（最初の２つを調べて３つめを調べないと→ＡＤ＝→ＡＢ＋→ＡＣを満たす点をＤとしたときの平行四辺形ＡＢＤＣ上の点を調べることになります）

今回は
→ＡＢ＝（１０，０，０）
→ＡＣ＝（０，１０，０）
だから

→ＡＸ＝ｓ×→ＡＢ＋ｔ×→ＡＣ＝（１０ｓ，１０ｔ，０）　（ただし０≦ｓ≦１　かつ　０≦ｔ≦１　かつ　０≦ｓ＋ｔ≦１）

を満たす領域が△ＡＢＣ内部の範囲です。

回答No.6

sanori

＃２の者です。

もしや、
「平面上」というのは、「△ａｂｃの内部」ということですか？

この場合、ａの座標が原点なので、話は簡単です。

ベクトルａｂ→は、（１０，０，０）
ベクトルａｃ→は、（０，１０，０）

そして、三角形の中の全ての点は、
ａｂ→の０～１倍　＋　ａｃ→の０～１倍
で表すことができます。
（紙に書いて、すぐ分かるはず。）

すなわち、この場合、
（０～１０、０～１０、０）
にある全ての点は、△ａｂｃの内部です。

よって、
（０，１，１）と（０，１０、１０）は、いずれも、三角形の内部に無いことが一目で分かります。

ちなみに、余計なこと言いますが、
ベクトルｂｃ→は、
ｂｃ→　＝　ｂａ→　＋　ａｃ→
　＝　ａｃ→　－　ａｂ→　
　＝　（－１０、１０，０）

ということは、

点ｂの座標（１０，０，０）に、
（－１０、１０，０）の０～１倍を掛けたもの
を足した座標は、全て、辺ｂｃの、ちょうど上です。

補足

そうです！△ａｂｃの内部ということです。
例として書いたのは「△ａｂｃの内部」ということを分かってもらうために簡単なものを書きました。
なので、例の３点だけでなく、任意の△ａｂｃの内部にたいして、任意の点を判定するには、どうすれば良いでしょうか？

回答No.5

eatern27

平面ＡＢＣ上に点Ｐがあるかどうかを判定するとします。
(↑ＡＢ×↑ＡＣ＝０　の場合、ＡＢＣは一直線上にあるので考えません)

↑ＡＰ・(↑ＡＢ×↑ＡＣ)＝０　⇒　Ｐは平面ＡＢＣ上にある
↑ＡＰ・(↑ＡＢ×↑ＡＣ)≠０　⇒　Ｐは平面ＡＢＣ外にある
(×は外積、・は内積です)

回答No.4

kohta83

No3です。失礼しました。

k+l+m=1　は三角形の外周上に点がある場合ですね。

あるベクトルdが三角形abc内部にあるための条件は、

d = k(a-c)+ l(b-c), k+l<1

と書けること。

回答No.3

kohta83

a, b, cを3次元ベクトルと考えて、もし、ある点dが

d = k*a + l*b + m*c
(k,l,m は何らかのスカラー)

と表せるなら、（つまり、a,b,cの線形結合で表せるなら）
a,b,cと同一平面上にあることになります。

さらに、k, l, m に一定の制限をかけてやれば三角形内に収まりそうです。

計算していないけど、たぶん、k+l+m=1 のとき、三角形内の点になるのではないでしょうか。

2次元空間で、ある2点の内分点であるための条件のアナロジーです。

間違っていたら教えてください。

回答No.2

sanori

平面の方程式は、一般に

Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃｚ＋Ｄ＝０

と書けます。

これに、点ａ、ｂ、ｃの座標を代入し、連立方程式を解くと、平面の方程式が判明します。

ただし、Ａ～Ｄという４つの変数にたいして、３本の方程式なので、絶対に解けません。（不定になります）
ですから、Ａ～Ｄのうち、１つをあらかじめ好きな数字に決めます。（ただし、ゼロは駄目）
Ａを１にすれば、
ｘ＋Ｂｙ＋Ｃｚ＋Ｄ＝０
です。

そうして、Ｂ～Ｄが求まり、
平面の方程式が、例えば、
ｘ＋２ｙ＋３ｚ＋４＝０
という式になったとしましょう。

これに、
（０，１，１）
を代入して左辺が目出度く、丁度ゼロになれば、
（０，１，１）
は、その平面内にある、ということです。

回答No.1

kabaokaba

三点A，B，Cの位置ベクトルを
それぞれa,b,cとしたとき，
平面ABC上の点Pの位置ベクトルpは

p=s a + t b + u c (s+t+u=1)

と表せる．これを使えば，
平面にのってるかは判別可能です．

ちょっと考えれば，
三角形の内部・周上・外部も
判別可能です
二次元の場合とほとんど同じです